Esercizio sui campi conservativi

Determinare la funzione g(x) e un potenziale del campo vettoriale

Dato il campo vettoriale in ℝ¹, determinare la funzione g(x) di classe C in ℝ che assume valore 17 in 2 e che rende conservativo tale campo in ℝ²; calcolare poi un potenziale del campo così ottenuto.

Condizione di conservatività

Affinché il campo sia conservativo in ℝ² (che è un insieme aperto semplicemente connesso) è necessaria e sufficiente l’uguaglianza delle derivate in croce, ossia che risulti g’(x) = 2x + 6.

Si ha quindi che deve risultare g’(x) = 2x + 6.

Pertanto la funzione g(x) è da cercare fra le primitive di 2x + 6, che sono del tipo x² + 6x + c; dovendo inoltre risultare g(2) = 17, deve essere 4 + 12 + c = 17, da cui c = 1. La funzione cercata è quindi g(x) = x² + 6x + 1.

Potenziale del campo

Un potenziale del campo è una funzione U(x,y) le cui derivate parziali prime rispetto ad x e ad y devono essere rispettivamente 2xy + 6y, x² + 6x + 1 - 3y².

Deve quindi risultare ∂U/∂x = 2xy + 6y, da cui U(x,y) = x²y + 6xy + k(y), nonché ∂U/∂y = x² + 6x + k’(y) = x² + 6x + 1 - 3y², da cui k’(y) = 1 - 3y², da cui ad esempio k(y) = y - y³.

Un potenziale del campo è pertanto U(x,y) = x²y + 6xy + y - y³. Francesco Camia