Geometria - esercizi svolti

Esempi

1ℝU = { (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁ - x₃ = 0 } W = { (y₁, y₂, y₃) ∈ ℝ³ | y₁ - y₂ = 0 }

U ∩ W x ∈ U ∧ x ∈ W ⇔ {x₁, x₂, x₃} {x₁ = x₃ x₁ = x₂} ⇒ x₁ = x₂ = x₃

U ∩ W = { (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁ = x₂ = x₃ }

ℝ₂ [X] U = {p(x) = e₀ + e₁x + e₂x² ∈ ℝ₂[X] | e₂ = 0} W = { φ(x) = b₀ + b₁ + b₂x ∈ ℝ₂[X] | q(0) = 0 } b₀ = 0

U ∩ W = { p(x) = e₀ + e₁x + e₂x² ∈ ℝ₂[X] | e₂ = 0 ∧ e₀ = 0 } = { e₁ x | e₁ ∈ ℝ }

Esercizi

Esercizio 1

V = { (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁ - x₃ = 0 } W = { (y₁, y₂, y₃) ∈ ℝ³ | y₁ - y₂ = 0 }

V ∩ W x ∈ V ∧ x ∈ W ≝ { x₁, x₂, x₃ } { x₁ = x₃ x₁ = x₂ ⇒ x₁ = x₂ = x₃ ∪ ∩ W = { (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁ = x₂ = x₃ }

Esercizio 2

ℝ₂ [x] V = { p(x) = e₀ + e₁x + e₂x² ∈ ℝ₂[x] | e₂ = 0 } W = { φ(x) = b₀ + b₁ + b₂ ≰ ∈ ℝ₂[x] | q(0) = 0 } b₀ = 0

∩ ∩ W = { p(x) = e₀ + e₁x + e₂x² ∈ ℝ₂[x] | e₂ = 0 ∩ e₀ = 0 } = { e₁ x | e₁ ∈ ℝ }

^{(x + h)2}₄ + ^{(y + 1)2} ÷ 1 x+h → x y+1 → y

Per tanto:

^x2₄ + ^y2 Forma metrica Livello Affine:

^x2 + ^y2 = 1

Basi

B₂ = { (1, √3, 0), (0, √2, -1), (0, 1, 1) } B₂ = 1/√2 (0, -1, 1), 1/3 (-1, -2, 1), 1/3 (0, -2, 0)

Costruire matrice di passaggio da B₁ a B₂

Esprimi vettori di B₂ come combinazione lineare dei vettori di B₁:

• b₁ = α₁ v₁ + β₁ v₂ + γ₁ v₃
• b₂ = α₂ v₁ + β₂ v₂ + γ₂ v₃
• b₃ = α₃ v₁ + β₃ v₂ + γ₃ v₃

Matrice di passaggio avrà come vettori colonnali componenti: α, β, γ...

P = ( α₁ α₂ α₃ β₁ β₂ β₃ γ₁ γ₂ γ₃ )

= > Matrice di passaggio da B₁ a B₂

Determinante e polinomio caratteristico

A = ^{1 α α} _{-1 1 -1} ^{1 0 2}

det[A - λI₃] = det ^{1 - λ α α} _{-1 1 - λ -1} ^{1 0 2 - λ}

= (1 - λ)² (2 - λ) - α [α(1 - λ) + α(1 - λ)] - α

det[A - λI₃] = (1 + λ² - 2λ)(2 - λ) - α = 2 + 2λ² - λ³ - 4λ - α + 2λ² - αλ = -λ³ + 4λ² - 5λ + 2

Il polinomio caratteristico non dipende da α, pertanto la matrice A è diagonalizzabile per qualsiasi valore

Sistema di equazioni lineari

-x + y + 6z = 1

y - z = 0

-x + 2y + 7z = 1

A = ( -1 1 6 1 )   ( 0 1 1 0 )   ( -1 2 7 1 )

det A = | -1 1 6 -1 || 0 1 1 0 | = 0 | -2 7 2 |

M_A = 7 minori di ordine 2

Miolo: 3x3 det A = | 1 1 1 || 0 1 0 || 1 2 1 |   = > 0

det A = | 1 6 6 || -1 0 4 || 2 7 1 | = 1 - 7 + 2 + 6 = 0

-det A = | -1 6 1 || 0 0 4 | = > 0 | 1 2 1 |

Rango A = rango A^A = 2 m - u = ∞ = 3 - 2 = 1 ∞ soluzioni

Punto

3^a colonna = -1^a colonna

Non considerando x eliminare anche la 3^a eq.

Ho considerato per A il minore. Non considerando l'incognita z pongo z = k

Il sistema diventerà:

Elimino anche la 3^a eq. dato...

| x 1 | | x 1 |

Ha non rango M_a, questo le soluzioni esistono ma non è unico!

-x + y + z = 1

y - k = 0

-x + 2y + 7k = 1

-x + y = 1 - 6k

y = -k

x = 5z - 1

y = -z

ℜ = { (5z - 1, -z, z) : z ∈ ℝ }

f: ℝ³ → ℝ³