Esercizi svolti di Elettrotecnica sul regime sinusoidale - Parte 2

Prova scritta di ELETTROTECNICA del 25-9-2023

2. Nella rete in regime sinusoidale di figura 2 si calcolino: la tensione V, l'impedenza Z_AB del bipolo individuato dai morsetti A e B evidenziati in figura e la potenza attiva P complessivamente assorbita dai resistori R₁, R₂, R₃ e R₄.

R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 1 ohm, X_L = 1 ohm, X_C = -1 ohm, alpha = 1, V_g = 15 (3 - i) V.

Figura 2.

2)

R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 1 Ω = R

X_L = 1 Ω, X_C = -1 Ω

β = 1

V_g = 15 (3 - i) V

V = E₂

E₁ = V_g

E₃ = V_g - β V_L = V_g - β E₂

(1/R₁ + 1/R₄ + 1/(R₂ + iX_L)) E₂ - 1/R₁ V_g - 1/R₄ (V_g - βV_L) = 0

L K C

(2/R + 1/(R + iX_L) + β/R · iX_L/(R₂ + iX_L)) E₂ = 2V_g/R

(2 + (1 + iX_L)/(R + iX_L)) E₂ = 3E₂ = 2V_g

E₂ = 2V_g/3 = 2/3 · 15 (3 - i) = 30 - 10i V = V

I₂ = E₂/(R₂ + iX_L) + E₃/(R₃ + iX_C)

L K C

E₃ = 15(3 - i) - 10(3 - i) · i/(1 + i) = 5(3 - i)(3 - 2i/(1 + i)) =

= 5(3 - i)(3 - 2i(1 - i)/2) = 5(3 - i)(2 - i) = 5(6 - i3 - (2 - i)) =

= 25(1 - i) V

I₂ = 10 (3 - i)/(1 + i) + 25(1 - i) - 1/(1 - i) = 10 * 1/2 (3 - i)(1 - i) + 25

= 5(3 - i3 - i - 1) + 25 = 35 - 120 A

Z_AB = V_g/I₂ = 15(3 - i)/5(7 - i4) = 3(3 - i)(7 + i4)/19 + 16 = 3/13.5 (21 + i12 - i7 + 4) =

= 3/13 (5 + i) Ω

I₁ = - I₂ + (V_g - E₂)/R₄ = -35 + i20 + 15(3 - i) - 30 x 1/0 =

= -20 + i15 A

A₁ = 1/2 β V_L Ī₁ = 1/2 10(3 - i) * i/(1 + i) * (-1) * 5(12 + i3) =

= 25/2 (3 - i)(2 + i3)(-1)(1 + i) = -25/2 (12 + i9 - i4 + 3)(1 + i) =

= -25/2 (3 + i)(1 + i)5 = -125/2 (3 + i3 + i - 1) = -125(1 + 2) V A

A₂ = 1/2 V_g Ī₂ = 1/2 15(3 - i) 5(7 + i4) = 75/2 (21 + i12 - i7 + 4) =

= 75*5/2 (5 + i) = 1875/2 + i375/2 V A

P resistive = P_R1 + P_R2 + P_R3 + P_R4 = Re {A₁ + A₂} = -250/2 + 1875/2 =

= 1625/2 W

Prova scritta di ELETTROTECNICA del 21-02-2024

2. Nella rete in regime sinusoidale di figura 2, si calcoli il valore della resistenza R' affinche sia massima la potenza attiva assorbita da tale resistore, nonche il valore di questa potenza.

R = 1 Ω, X_L = 2 Ω, X_M = 2 Ω, X_C = -1 Ω, V̇ = -i 10 V, i̇ = 15 A.

Figura 2.

2)

R1 = R2 = 1 ohm, XL1 = XL2 = XM = 2 ohm

XC1 = XC2 = -1 ohm

Vg = -i(70V

Jg = 15 A

X L1

R1

XC1

XL2

XC2

R2

Z

J1

J2

Jp

Vp

(R1 + iXL1 + iXC1 iXC1 + iXM 0

iXC1 + iXM R2 + iXL2 + iXC1 -R2

0 -R2 R2 + iXC2) (J1

J2

Jp) = (0

0 + R2Jp

Vp)

(1 + i i)(i 1 + i) (J₁J₂) = (VV_g)

D = (1 + i)² - (i)² = 1 + i2 ohm²

J₂ = 1/(1 + i2) . (1 + i 0)i 1

J_p = (1 - i2)/5 . (1 + i) I_p = 1/5 (3 - i) I_p

V_p = -1/5 (3 - i) I_p + (1 - i) I_p = (-3 + i + 5 - 5i)/5(2 - i4)/5 I_p = 2/5 (1 - 2i) I_p

Z = 2/5 (1 + i2) ohm = Z_eq = R_eq + i X_eq

X_L1

R₁X_C1X_L2X_C2R₂I_eq

(R₁ + iX_L1 + iX_C1 iX_C1 + iX_M -R₁ - iX_C1iX_C1 + iX_M R₂ + iX_L2 + iX_C1 -R₂ - iX_C1-R₁ - iX_C1 -R₂ - iX_C1 R₁ + R₂ + iX_C1 + iX_C2) (J₁J₂J_g) = (0V_gV - V_g)

(1+i   i)(i   1+i) (I₁I₂) = (0 + (1-i) I_gV_g + (1-i) I_g)

Δ = 1 + i2

I₂¹ = 1/5 (1-i2).(1+i   (1-i)I_gi   V_g + (1-i)I_g) = 1/5 (1-i2)[(1+i)V_g + 2I_g - I_g- iI_g]

= 1/5 (1-i2)[(1+i)V_g + (1-i)I_g] = 1/5 (1-i2)(1+i) V_g ++ 1/5 (1-i2)(1-i) I_g = 1/5 (1+i-2+2) V_g + 1/5 (1-i-2-2) I_g =

= 1/5 (3-i) V_g - 1/5 (1+i) I_g = -5-i15 A , I₁ = -5+i5 A

V_g = (I_g - I₂) R₂ + iX_c2 I_g = (1-i) I_g - I₂ =

= (1-i) I_g + 1/5 (1+i2) I_g = 1/5 (3-i) V_g =

= (5 -5 + 1 + i) I_g + (-3+i) V_g= 1/5 (-V_g + 2 I_g)(3-i) = 1/5 (+i10 + 2I_g)(3-i) = 20 V

(P_z)_NAS = |V_eq|² / 8 · 2/5 = 200 · 5 / 16 = 255.16 / 16 = 125 W

R' = |Z_eq'| = 2/5 √5 Ω = √5 R_q

(P_z)_NAS = 1/2 |V_eq|² · R' / ((R_eq+R')² + X_eq²) = 1/2 400 · (2/5)√5 / ((2/5 + 2/5√5)² + (4/5)²)

= 200√5 / (5 · 4/25 (1+√5)² + 5 · 16/25) = 500√5 / (4 + 5 + 2√5 + 4) = 250√5 / √5(√5+1) = 125/2(√5-1)

= 77.254 W

(P_zq)^MAS = 1/2 |V_eq|² Peq / ((Req + |Z_q|)² + X_q²) = 1/√5 (P_z)^MAS

y = (P_z)^MAS / ((P_z)^MAS + 1/√5 (P_z)^MAS) = √5/(1 + √5) = √5 · (√5 - 1)/4 ≈ 0,691

Prova scritta di ELETTROTECNICA del 23-09-2024

2. Calcolare la matrice delle impedenze di circuito aperto del doppio bipolo in regime sinusoidale di figura 2, le cui due porte sono individuate dalle coppie di morsetti 1 - 1' e 2 - 2'. Successivamente, supponendo che le correnti di porta del doppio bipolo siano entrambe 2 A, si calcoli la potenza complessa complessivamente assorbita dal doppio bipolo nella condizione ora specificata.

R₁ = 4 ., R₂ = R₃ = 2 ., g_m = 1/2 S,

X_L1 = 3 ., X_L2 = X_M = 2 ., X_C = -2 .

Figura 2.

2)

I1 = I1, I2 = I2

J3 = gm V_L2 = gm [i X_L2 (I1 + I2 + I3) + i X_M I1]

(1 - gm i X_L2) I3 = gm i (X_L2 + X_M) I1 + gm i X_L2 I2

I3 = i gm (X_L2 + X_M) / (1 - gm i X_L2) I1 + i gm X_L2 / (1 - gm i X_L2) I2

= i 1/2 (2 + 2) / (1 - 1/2 i 2) I1 + i 1/2 2 / (1 - 1/2 i 2) I2 = 1/2 i 2 (1 + 1) I1 + 1/2 i (1 + 1) I2

= (-1 + i) I1 + 1/2 (-1 + i) I2

(R1 + i X_L1 + i X_L2 + 2 i X_M i X_L2 + i X_M i X_L2 + i X_M)

(i X_L2 + i X_M R2 + R3 + i X_L2 + i X_C R2 + i X_L2 + i X_C)

(i X_L2 + i X_M R2 + i X_L2 + i X_C R2 + i X_L2 + i X_C)

R1 = 1 ohm, R2 = R3 = X_L2 = X_M = -X_C = 2 ohm, X_L1 = 3 ohm

gm = 1/2 S

I1 = I2 = 2A

V₁ = (4 + i9) I₁ + i4 I₂ + i4 (-1 + i) I₁ + i4 1/2 (-1 + i) I₂ =

= (4 + i9 - i4 - 4) I₁ + (i4 - i2 - 2) I₂ =

= i5 I₁ + (-2 + i2) I₂

V₂ = i4 I₁ + i4 I₂ + (2 + i2 - i2)(-1 + i) I₁ + (2 + i2 - i2) 1/2 (-1 + i) I₂ =

= (i4 - 2 + i2) I₁ + (4 - 1 + i) I₂ =

= (-2 + i6) I₁ + (3 + i) I₂

Z =

( i5      -2 + i2 )

( -2 + i6      3 + i )

Ω