Esercizi svolti di Elettrotecnica sul regime sinusoidale - Parte 1

Esame di ELETTROTECNICA del 30-11-2015

C.d.L. Ingegneria Industriale, C.d.L Ingegneria Informatica

2) Data la rete a regime sinusoidale, determinare il fasore della corrente i_L.

< i_L = 4/5 - j 2/5 A >

R = 1Ω, X_L = 1/2Ω, X_C = -1Ω, α = 2, V₂ = 2 - j V, i₁ = 2(1 + j)A.

α V_R

i₁

R

+ V_R -

R

X_C

+

V₂

i_L

X_L

Fig. 2

E₃ = V₂

E₂ = -αV_R

E₁ = V_R

(1/R + 1/jX_C)V_R + V₂/jX_C = i₁

Vn = (i₁ - V₂/jX_C) / (1/R + 1/jX_C)

Vn = 1/2 - j 1/2 V

i_L = (V₂ - aV_n) / (R + jX_L)

i_L = 4/5 - j 2/5 A

v_R = R i_L

[R + jX_L   aR   -R - jX_L]

[0   R + jX_C   -jX_C]

[-R - jX_L   -jX_C   R + jX_C + jX_L]

[j₀]

[j₀]

[i₁]

[V₂ - aV_n]

[-V₂]

[V_x]

(R + jx_L) I₀ + aR I₂ = V₂

(R + jx_c) I₀ = jx_c I₁ - V₂

I₂ = (jx_c I₁ - V₂) / (R + jx_c)

I₀ = (V₂ - aR I₂) / (R + jx_L)

I_L = I₀ - I₁

Prova scritta di ELETTROTECNICA del 11-11-2022

2. Si calcoli la potenza reattiva assorbita complessivamente dagli induttori e dai capacitori della rete elettrica in regime sinusoidale di figura 2.

R = 1 Ω, X_L = X_M = 1 Ω, X_C = -1 Ω, I_g = 1A.

Figura 2.

2)

R

X_L

X_C

R

X_L

X_C

R

V

I₁

I₂

I

(2 + i - i   1 + i   -2 + i)

(1 + i   2 + i - i   -2)

(-2 + i   -2   3 + i - i)

(I₁

I₂

I_d) = (0

0

V)

(2   1 + i)

(1 + i   2)

(I₁

I₂) = (2 - i

2)

Δ = 2(2 - i)

I₁ = 1/2 · 1/5 (2 + i) | 2 - i   1 + i

          2        2

= 1/10 (2 + i)(4 - i2 - 2 - i2) =

= 1/10 (2 + i)(1 - i2)2 = 1/5 (2 - i2 + i + 2) = 1/5 (4 - i3) A

I₂ = 1/2 · 1/5 (2 + i) | 2   2 - i

          1 + i   2

= 1/10 (2 + i)(4 - 2 + i - i2 - 1) =

= 1/10 (2 + i)(1 - i) = 1/10 (2 - i2 + i + 1) = 1/10 (3 - i) A

V = (-2 + i) · 1/5 (4 - i3) - 2 · 1/10 (3 - i) + 3 =

= 1/5 (-3 + i6 + i4 + 3 - 3 - i + 15) = 1/5 (7 + i11) V

A = 1/5 · 1/1 (7 + i11) · 1 = 1/5 (7 + i11) VA

Q = 11/10 VAR

Prova scritta di ELETTROTECNICA del 15-03-2023

2. Calcolare la matrice di trasmissione diretta del doppio bipolo in regime sinusoidale di figura 2, avente i morsetti 1 - 1' e 2 - 2'.

R₁ = R₂ = 1 Ω, X_L = 2 Ω, X_M = 1 Ω, X_C1 = X_C2 = -1 Ω.

Figura 2.

2)

R1 = 1Ω    XL = 2Ω XM = 1Ω XC1 = -1Ω R2 = 1Ω XC2 = -1Ω

doppio bipolo reciproco e simmetrico

I2 = 0 A

(R1 + iXL    iXL - iXM) (iXL - iXM    2iXL + iXC1 - 2iXM)

(I1 J) = (V1 0)

(1 + i2    i) (i    i)

J = -I1

(1 + i2)I1 - iI1 = (1 + i)I1 = V1

V2 = iI1 - i2J + i(-I1 + J) = (1 + i2)I1

I1 = 1/5 (1 - i2)V2    C = 1/5 (1 - i2) S

V1 = (1 + i) 1/5 (1 - i2)V2 = 1/5 (3 - i)V2    A = D = 1/5 (3 - i)

z = (A2 - 1)/C = 1/25 (3 - i)² - 25/25 / 1/5 (1 - i2)

= 1/25 (1 + i2) [ (3 - i)(8 - (6 - 25)) ] =

= 1/25 (-17 - i(6 - 34 + 12)) = -1/25 (5 + i40) = -1/5 (1 + i8) Ω

T₁ = 1/5 ( 3-i    -1+181-12    3-i )

I₁    R₂    I₂

V₁

V₁ = V₂ - R₂ I₂ = V₂ + (-I₂)

I₁ = -I₂ + V₁/(X_C2) = -I₂ + iV₁ = -I₂ + iV₂ + i(-I₂)

T₂ = ( 1    1i    i+1 )

T = T₁ T₂ = 1/5 ( 3-i    -1+181-12    3-i ) ( 1    1i    1+i ) =

= ( (11-i²)/5    2+12(2+i)/5    1 )

C.d.L. Ingegneria Industriale

Prova in itinere di ELETTROTECNICA del 15-6-2023

Matricola __________________________

1) Calcolare la matrice di trasmissione diretta del doppio bipolo in regime sinusoidale di figura 1, avente i morsetti 1-1' e 2-2'.

R = 2 Ω, g_m = 0.5 S, X_C = -2 Ω, X₁ = 1 Ω, X₂ = 2 Ω, X_M = 1 Ω.

fig. 1

R = 2 ?, X_L1 = 1 ?, X_L2 = 2 ?, X_M = 1 ?, X_C = -2 ?, g_m = 0,5

Z_p = -12,2 / 2(1 - i) = 1/2 (-2)(1 + i) = 1 - i ?

1 2

i 2

3 0 0

1 - i2 2 + i 0

-3 + i - i -1

V1

V2

0

1 - 12 + 1/2(1 - i)(-3 + i) = 1 - (12 + 1/2(-3 + i + i3 + i)) = 1 - (2 + i2 - 1) = 0

2(1 - i) + i2 - 1/2(1 - i)² = 2 - i2 + i2 + i = + i + 2

-1 + i + 1/2(1 - i)(3 - i) = -1 + i + 1/2(3 - i - i3 - i) = -1 + i + 1 - i2 = -i

Z = (3 0; 1 - i2 2 + i)

v₁ = 3 I₁

v₂ = (1 - i2) I₁ + (2 + i) i₂

(-1 3 0; 0 1 - i2 0; 0 -3 + i -1) (v₁; I₁; v) = (0; (2 + i)(-I₂) + v₂; -i(-I₂))

I₁ = 1/5(1 + i2)v₂ + 1/5(1 + i2)(2 + i)(-I₂) = 1/5(1 + i2)v₂ + 15/5(-I₂)

V₁ = 3/5(1 + i2)v₂ + i15/5(-I₂) Δ = 1 - 12

V₁ = 1/5(1 + i2) (0 3 0; (2 + i)(-I₂) + v₂ 1 - i2 0; -i(-I₂) -3 + i -1) =

= 1/5(1 + i2)[3 v₂ + 3(2 + i)(-I₂)] = 3 + i6/5 v₂ + 15/5(-I₂)

I₁ = 1/5(1 + i2) (-1 0 0; 0 (2 + i)(-I₂) + v₂ 0; 0 -i(-I₂) -1) =

= 1/5(1 + i2)[v₂ + (2 + i)(-I₂)] = 1/5(1 + i2)v₂ + i5/5(-I₂)

T = ( 3/5 (1+i2) i 15/5

1/5 (1+i2) i 5/5 )