Esercizi sulla meccanica

6.8 Volano con freno a blocco di rame

Un volano, costituito da un disco di rame con raggio R = 32 cm e massa M = 348 kg, è in rotazione con velocità angolare 376 rad/s attorno ad un asse fisso perpendicolare al disco e passante per il suo centro.

Per fermare il volano viene azionato un freno che consiste in un blocco pure di rame di massa m = 5 kg che viene spinto verticalmente dall'alto sul disco da una molla di costante elastica k = 8.61 10⁴ N/m compressa di una quantità x = 6 cm.

Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico fra blocco e disco è μ_k = 0.12, calcolare:

• Quanti giri compie il volano prima di fermarsi.
• L'aumento di temperatura.

Supponendo inoltre che tutta l'energia dissipata vada a scaldare uniformemente sia il blocco che il volano, calcolare l'aumento di temperatura.

μ_k = 0.12, c = 387 joule kg C, m₀ = 5 kg, M = 348 kg, R = 32 cm, x = 6 cm, ω₀ = 376 rad sec^-1, k = 8.61 10⁴ newton m^-1.

Il momento angolare e l'energia cinetica del volano in rotazione sono:

I = M R²/2 = 17.818 kg m²

L = I ω₀ = 6699.418 kg m sec^-1

E = I ω₀²/2

E = 1.259 10⁶ joule

La forza d'attrito del freno e il suo momento sono:

F = μ_k(m₀ g + kx)

τ = F R

F = 625.804 newton

τ = 200.257 newton m

m₀ g = 49.033 newton

Metodo 1

Il volano si ferma quando il lavoro della forza d'attrito ha azzerato l'energia cinetica. Detto l'angolo di frenata θ:

E = τ θ

θ = E/τ = 6289.362 rad

N = θ/(2 π) = 1000.983

Metodo 2

Determino l'istante in cui la velocità angolare è nulla:

α = τ/I

ω₀ - α t = 0

t = 11.239 sec

θ = ω₀ t - α t²/2

t = 33.454 sec

θ = 6289.362

N = 1000.983

Quando il volano si ferma tutta l'energia cinetica è trasformata in energia termica. Detto c il calore specifico del rame (pag. 274):

E = c (M + m₀) ΔT

ΔT = E/[c (M + m₀)]

ΔT = 9.22 C.

L. Giudicotti - Esercizi di Fisica Uno Moto dei corpi rigidi pag. 9

Asta e insegna

Una sbarra di lunghezza L = 3 m e massa M = 80 kg è incernierata nel punto C ad una parete verticale fissa. La sbarra è mantenuta in posizione orizzontale da un cavo fissato alla parete in un punto P che dista h = 1 m dalla cerniera.

Ad una distanza d = L/4 dal centro di massa della sbarra è sospesa una massa m₀ = 20 kg. Il sistema è in equilibrio stabile. Si determinino:

• La tensione della fune.
• Modulo direzione e verso della reazione vincolare sulla cerniera.

Si supponga ora che il cavo che sostiene il sistema si spezzi.

• Quanto vale l'accelerazione angolare del sistema?

g = 9.8 m s^-2

L = 3.0 m

h = 1 m

M = 80 kg

m₀ = 20 kg

d = L/4

Considero le forze che agiscono sull'asta che sostiene la massa m₀. Esse sono: la sua forza peso, la tensione della fune T, la reazione vincolare R in C e la tensione T₀ dovuta alla massa m₀. Dato che la massa m₀ è ferma in equilibrio, si ha che T₀ = m₀ g. Allora, dette R_x e R_y e T_x e T_y le componenti della reazione vincolare in C e della tensione T, e scelto l'asse x positivo verso destra, dalle leggi dell'equilibrio del cor