Esercizi di meccanica

6.3 Cubo in equilibrio

Un cubo di massa m = 0.66 kg e lato l = 16 cm è in equilibrio con due spigoli appoggiati ad una parete verticale e ad un piano orizzontale rispettivamente e con la faccia inferiore che forma un θ col piano d'appoggio. Nel punto A il coefficiente di angolo μ = 0.23 mentre nel punto B il contatto è privo di attrito statico e sattrito. Determinare i valori massimi e minimi che può assumere θ in posizione di equilibrio. [θ_min = 34.4°; θ_max = 45°]

L'angolo μ_s. M 0.66 kg l 16 cm 0.23

Dato che in B non c'è attrito la forza in B sul blocco ha solo componente orizzontale F_b. In A abbiamo la forza di attrito statico F_s che è diretta verso sx e la forza normale F_a diretta verso l'alto. Innanzitutto trovo F_a e F_b imponendo che siano nulle le componenti della risultante:

F_a M g. F_a M g 0 μ_s. F_s F_a F_b F_s 0 F_a = 6.472 newton

μ_s. F_b M g μ_s. F_b M g 0 F_b = 1.489 newton

Per trovare il valore minimo di θ impongo che sia nullo il momento risultante rispetto ad A.

π θ θ. . . . . F_b l sin M g d cos 0 4π 2 2

θ θ θ. .cos cos sin d l d = 11.314 cm 4 2 2

θ θ θ. . . . . . F_b l sin M g l cos sin 0 2

Per risolvere divido per cos(θ) e trovo

1 1 θ θ. . . . . . . . F_b l tan Mg l M g l tan 0 2 2 1

1. . . . . . Mg l Mg l 2 2

θ θ θ tan atan = 34.408 deg 1 1. . . . . . . . F_b l Mg l F_b l Mg l 2 2

θ <45°

Il valore massimo di θ è 45°. Infatti solo per la forza peso e la forza in B possono avere momenti opposti rispetto ad A.

L. Giudicotti - Esercizi di Fisica Uno Moto dei corpi rigidi pag. 3

Scoppio in volo

Un proiettile di massa M = 15 kg è lasciato libero di cadere da fermo a partire da un altezza h = 50 m rispetto al suolo. Dopo 2.2 s dal lancio, a causa di un'esplosione che genera forze interne, il proiettile si spacca in due frammenti. Il frammento 1, di massa m₁ = 6 kg, arriva al suolo 2 s dopo l'esplosione, in un punto posto alla distanza d₁ = 12 m rispetto alla verticale del punto dello scoppio. Calcolare 1) le componenti della velocità del frammento 1 subito dopo lo scoppio e 2) la posizione del punto d'impatto al suolo per il frammento 2. Trascurare la massa dell'esplosivo.

M 15 kg t0 2.2 sec

m₁ 6 kg d₁ 12 m 2

h 50 m g 9.8 m s

t₁ 2 sec

Calcolo prima di tutto la quota h_s e le componenti v_x e v_y della velocità del proiettile al momento dello scoppio; il proiettile parte da fermo e scende in verticale sotto l'effetto della forza peso. Assumendo un sistema cartesiano con l'origine nel punto al suolo sulla verticale dello scoppio, l'asse y verso l'alto e l'asse x diretto a destra nella direzione del punt