Esercizi di Fisica generale sulla meccanica

5.3 Blocco sostenuto da una molla e una fune

Un blocco di massa m = 2.35 kg è sostenuto da una molla e da una fune, collegate ai due punti P come in figura. La molla ha una lunghezza a riposo d = 25 cm. Sapendo che h = 90 cm e che all’equilibrio la distanza fra i due punti P, m e f, è tale che molla e fune formano due angoli θ_m = 35˚ e θ_f = 55˚ rispettivamente all’orizzontale, calcolare:

• La costante elastica k della molla;
• Successivamente la molla viene tagliata e il blocco inizia a oscillare sostenuto solamente dalla fune. Calcolare la sua velocità quando raggiunge il punto più basso.

[k = 29.13 N/m; v = 1.36 m/s].

M 2.35 kg d 25 cm h 90 cm θ_m θ_f 35 deg 55 deg

Condizione di equilibrio

Dalla condizione di equilibrio, dette F la forza della molla e T la tensione della fune, risulta:

T sin θ_f - F sin θ_m - M g = 0

T cos θ_f - F cos θ_m = 0

Risolvendo il sistema si trova:

F = M g cos θ_f tan θ_m / sin θ_m = 13.218 newton

T = F cos θ_m / cos θ_f = 18.878 newton

Costante elastica della molla

Per determinare la costante elastica k occorre prima calcolare la lunghezza dei lati del triangolo. Osservando che si tratta di un triangolo rettangolo, dette l_m e l_f le lunghezze della molla tesa e della fune, risulta:

l_f = h sin θ_m = 51.622 cm

l_m = h sin θ_f = 73.724 cm

F = k (l_m - d)

k = F / (l_m - d) = 27.129 newton/m

Oscillazione del blocco

Quando la molla viene tolta il blocco si mette ad oscillare come un pendolo semplice. Nel punto più basso ha perso una quota h₁ rispetto alla posizione di partenza. Applicando la conservazione dell’energia:

h₁ = l_f - l_f sin θ_f = 9.336 cm

M g h₁ = 1/2 M v²

v = √(2 g h₁) = 1.353 m/sec

L. Giudicotti - Esercizi di Fisica Uno Lavoro e energia pag. 3

M 32 gm L 1.2 m θ 35 deg g 9.8 m/s

Conservazione dell’energia

La massa M è sottoposta alla forza di gravità e alla tensione del filo. Quest’ultima però non fa lavoro perché è sempre perpendicolare alla velocità. Vale quindi la conservazione dell’energia durante tutto il moto.

Nel caso 1) all’istante finale la massa è ferma e quindi la quota alla quale risale è proprio la quota di partenza. Dato che questa è anche la quota del chiodo, detta d₁ la distanza del chiodo da O avremo:

L - d₁ = L (1 - cos(θ))

d₁ = L cos(θ) = 0.983 m

Nel caso 2), detta d₂ la distanza minima del chiodo da O, all’istante finale la massa sta ancora percorrendo una traiettoria circolare. Il raggio di questa traiettoria è L - d₂ e la velocità minima compatibile con la traiettoria circolare si può calcolare osservando che in questo caso l’accelerazione centripeta nel punto più in alto sarà interamente fornita alla forza di gravità. Infatti supponendo che la massa arrivi alla sommità della traiettoria circolare con una velocità v sufficientemente grande da permettere il giro completo, il diagramma delle forze indica che in quell’istante:

T + m g = m v² / R

R = L - d₂

Questa relazione in