Esercizi Analisi 2

Appunti per degli risoluzione la esercizi utili variabili a funzioni di limiti

2xi y2 2xy=+· xx2(x y2 ( = ) -1· + x2 yz+ seyo 411191x fix0 0=1: ,· =1aix , in notevoli limiti S· lin 1csx1 - =X+ 0 x2 a= -1lin loga=- 0xX =20g0,120g(1lin x) Xein+ +1= 0X+ X+0x ax)P(1lin + 1 pEIR- pc=+ 0X Xlin erchant 1=tX +0 viletorna dei maggiorazione dimostrare due la crolinieri teorema il de, si se ne poi usa per· funzione il limite conviene continue nell'origine fare funzione di e esiste una non nono una Esatto ed al tenere considerazioni Valore limite portano del che ci un e minimi massimi minimi il massimi di nel olimi lungo così in anche po' caso vincolati conviene se o uso re· un ,,moltiplicatori Lagrange metodo del di /Xpp di determinare allo è ricorso vincolato fa minimo yp) punto se massimo= si un per o.

Studio del determinante dell'Hessiano

Orcato studio del determinante dell'Hessiano ((x f(x Xy(xx) y)y)=y +,, ,, yxo y "xyf'yfxyx (yy("xxy y yxyyyx"xy "yyyx( (yx odet ((H(p)) + ++= o + -xx= fly L'yx L"yy Sarruss regola di~ 6shi ixyeyex une& 0 yi ixY'y L'yx d'y LyxLy Ly123(h(p)det fixiyP in sostituisci P(X Punto di Massimo>o > vincolato 4)- oppure: ,(h(P)) punto vele det P0 vedere vincolato minimo di quarto> per:- ricordo li prodi devi controllar Bordo il studier se Max vincolati del Min vincol see·

Curve

Essere spezzato scritto come e curve unione di curve /(n sengsens)Seng10059 cardioide (9) -11+ +· ~ = , 96(0 2i]2(0) 5291 += ,,sens/seng)(11 cardioide rovesciato sens/cosS(9) 11 +~ +:· ,/Ross PP)Rsing Rr(9) Pj elica cilindrica 0· : ,, ,(ROcosS ROsing) ROr(9) R e(9) spirale Archimede di 0 =· : ,ree" b3)(a rettificlicase I>=· , b↳ Jos(Ivszldt dsess Elemento lunghezza di infinitesimo= On == & gee"definita de 10 32viel contesione zu· ,- gic(V) /Sl/t 18/1g(41) ↓ 1[11 ) Regolare, +eUk) > ===oppure =: , /1((()2(2) g(71dt= +=9191te (20 33)notere pocere forma di 1 eep· : : ..tratti regolare) ↓= aSc= 2119) ir1911es elsi2191" glgh09 +=+1= conS E 2" 37)(e1rm ~[e >b]

Integrale di linea di prima specie

Specie r prima di integrale di linea -· .,- IRVID D9. /VIIR ?>- integrabile/VI)g(11)t [0 b3suc . ,. ·(f((())(gds I vide= =:forma lunghezza Calcolare cartesiana la di InE· bgramuea) dela utgizuso- o b(Irilatla perometrizzo usoeo- & -Fill - ↑ T(t) "iti=V'Itl 1(t)Tangente a versore (t)· 1 curvatura == ·- -11 't)I) 'ltill "1z)11311 W 11Mille T'Ca T113 1Versore Normale A I di raggio curvatura· e= =·- 1(k(t)))1T'(tIl B11 T1 11 -BIt) T1N w'rt"binormale versore a V· = =Il NIlT1 11 Ilv'nv"--S

Integrale di linea di seconda specie

IRMID IR" DC EELINEA specie aperto+integrale continue DDI DI : su· ,IRM et tratti IVIDb](e >↓: ac-, . . ,integrabilet 111)E/(1) b20. suc , ,. b(Eds <E e dsavors, di E un=> : Ixtil&t potenziale e ammette dagli conservativo estremi du dipende l'integrale d i linea V sol+· =: C .. potenziale curva dale della e verifica di devo la fore conservativo per S l'integrale Schwartz/vole lungo linea + iedi thIrrozazionaleore di che avere curregli hanno nelle ordine estremi stessi stesso ce uguali sono

Integrali doppi

Integrali doppi funzioni X di↑ ↑((x y/fIR31ex B(x)bDy-semplice dominio = =dixsy=:· , , funzioni Y di GMSexylER'l Sly'secy=bD O(y)sxX-semplice :dominio :· : , /f 8 in8 inlimitareb]x(cQ Sain d3teorema waienstress)continue Q thFubini di int aper =1>= =:· ,. .,:9 ginidulax19 legia: fixiy1/Variabili hixiglysfubini Separabili)Teorema corollario Se = con:· I hex 8 in Q (ain (ab] 0<Continue b]continue :1 x=s ,.[20]in continue gly) Phidx(ag () hexigiyidxdy egl= :d)x(cb](a . ,(1 ()(DI xdya= ==· 0: , e (coe. Fes,d] gdifgomonagismoscieltive of eLedeDota by è031 <c 17,70e so~ : c un.,, ,integrali a le formula3) lo10 si su . bf(0)Se (f(f(xx)(y(x))dtfixidx = ↓ > e'(t)y(t -e'(t)conesIn /7 decrescente)(SpSS vil/Jegixy1 ordin)8191exay· 1: r ,.., .in gi q 1di inverse DeD': AHermite di scomposizione formula di· =Nel D è difficile studiere dividerle strane da sia possibile soltare2 più in un'area e se coso , 0· Sp(Se Sp S)p studiai e igacilmente trasformesi ++= +....

Integrali tripli

Integrali tripli esercizio 253 . MaCim 01(7) 10+ . & f(x y), 711x0lim di 10018191x17) = *7) 10(x 0 1+ ., 3. x3(kz 34)lim Cim 3x)X(k28 '17' +*lin +=I ((x2 5khxz)(x Sn(x242ey7 x +> 0x 2+10 0+ ki0 X, + ++ +, , kXy =↓se 0 0+X + y, dif(XYI)Notiono ha porver)lo No -Sche divergesesso to peendomet xte e p, ,,Possione di quindi il partenza effermare limite che esiste non

Esercizio 263

Lin xy)x20g(1 +10y) 01(x + 2y2xSinx, , + 8714//g MariogiX - 8T'lyof(x 0 "y) = =, , 0 .0 ...X 0= xYxeg(nxeogleeuxa co&11 /yxlin hin += =+ 0y)( X1 100 1 x2(Sinix2sin2x- 2x2, 2)+ +x20g(x2g(1 x) e70 1lim0217' + + Esiste limite Nov==- 2xxsx+ +ex x 2x4sin2x +, =x)y ↓1

Limiti e continuità di funzioni a due variabili

Continuità variabili a funzioni due limiti e di(1710ESER Xhlin O=X2y)(x yz0110+ +, .: gioC il977) 0 0==s , 11STIly10 0" X 0=0 + 10 01: 0.le Utilizzione e coss coordinate hii]Secofer-gospolori aX = on ,esingy =enross gios eosgicoso /(x y)) >: (x y) + 00 :g=> +se= )= = , ,↓ ↓O proshgO + o)=verifica to limite il è

Esercizio 1210

Inter verificare un +=yTyp81x 310D 013IR71 :: =. ,↓dominio9111), 0,3141710= Rico+ E +*" :1010 ..0 1 .. 0·poi dr f dominio di esg(x stesso y) con, :coordinate Utilizzando le le 91gl9 :ll che poceri csi . Elin poiché verifica10 +01+ CImite(x1y1 + 0 : e= I=1per =1.

Esercizio 1218

XIVerificare lin limite esiste questo se x2y)(x yz+ 10 01 +, . ~f(x y),171coo " 000 : -> esiste il limite non. 11x29171/y0h i 1=in+10 10 001,

Esercizio 1210

4x2ylin Verificare limite il seguente 0=10(x 01y) +, e,0191141/x0"cicolin S1x171ly 0 "y1 o1x ,10 n :, . ,- Xy)XX =>Ossenions de + Sx2 y2+ Uxy < hylulyl= exyy3x2y2 )(y)2xi y2- + +=Utilizzando Iging1/E011 S Cimitela d:definizione oc/ix 10y)si deve te se 1even =-, , S Ey) 18(x y/1ocx) <)+ = ,Int :gyi13 si ae evire delto 5 ie e che person recigieore:

Esercizio 12

0, esiste limite to verificare il seguente se1)+ EXArtico inx MieCin0 X= -- exyeexuxy .l'erlitiariche il VKEIR dunque limite il diversi limite Data di che valori nota non esistek si assume ,

Esercizio 1210

01lin limite il Verificare seguente 171-10. K3x43x1Y1/yuxcoo einEin. limite il è quindi esiste uguale se0=:= k(x) 43x)01x++ +oXX + Pelin gli917xo"y1 + 10( ,0, . limite esiste non il=

Esercizio

xyzlin l'esistenze di Verificare limite questo 011x171 7 10+ ,Bitcoho S'11/yS11/x =0 0,01 0:=, Sex)filyxmx m2linmhir lin x 0== = mhyzx 1+, =peryhein9'7'/x-rys FREIRneSim K diverso esiste non limite11)== k21x,71e10 ,0 1 +.

Esercizio

YXlim limite il -Verificare seguente =allogiathl011x 7) 10+ ., -=814//yeux X(1 k)+ 1- F I= ..10 0 exgixiems O, 41(x3(1 2) 1)Cim1- KCin 11-(1 4)+L'Hopital + 1 dDE nSa.- = =I02xX + 2xk2 +X 42)0 2x(1+ O+x2(1 42)+ + 1 1)(x linlivlimlaMa 20 o+ o Limite Esist0se .sik I1 con. == = =2x(1 0X -+> 1)2x(10 X1) ++ ↓ottenibile anche applicado l'Hopitoe Limite2 de il volte non esiste>=

Esercizio

3x2Verificare 2y2lin limite il +seguente y3)2(x y7 0)(x2(0+, +, x4),91710"o 09111ly F 2..eco ,, : 242)(324(x) x (/y 2k)3x 13 +f(x) +g(x7' ++ ===nx 42x2)3xh/1= 42) x (1 k3)(x2 ++ + funzione è positiva la sempre↑Sexylyuxethic0 Er VERFeNotiono che 3124230 :+=>eCim-2(3 242)l'Hopirol + dDe =s =xe0x3(1 44+ 293sin283copg 300929 Isin10linle EinUsiono +coordinate +pocari 0+= = =geo es0 elesQuindi limite il +avole esiste concludere di possione a

Esercizio

L'esistenza 2x 7Verificare lin ydel limite - -(x (4 1)y( +, 3y, +xy Sx - -di Considerione il goscio the m(x-4)+multe 1) y-114posse per =.fixyly 2x-mx 7hm 1linlin + --)= mx-nm ven 3mxz 3mxhmx 12mX S++I +x= - ---2x-mxlin hm-S+= 7mxmx) 2x 8X+ 4 + 12m+- -I h(2m) m)(2Lim X - --= hX- m(x 12)7x 2(x 4)++ -I -m)(X(2 (xh]Zin 4) (2-m)lin--= -- -4+ 2)]x (x)[w(X+ h4) X 3) +2(x3)(X h)(x -~ + I- -- lin 22 mm esiste - - limite non== = il4x+ 3m 2 2m+mx +-

Esercizio 1210

X3yein il Verificare limite y) *+ 01(x 10, ,h 97141/x "10 9'T'y 0"e co :, 0:0. i n linS'YIly Semxco mi=m2)x2(xi0. +: ein mXexico S'T/y :hie ==mx in=o,i xyy+ 2x =-==x y -= line limyıl f(x191x o 1== 0) y) :,= ,(x ( y/910y(910 0x ,01, ,,↓& O1x 41 + 0per ,

Esercizio

XY3Simy)910(x x0 y2, +, 41/x0 T'geim E'82x ".-X y) : 010+ 6), , ma m3x2m3xhlin linlin411ying 0(x == =.. X- X300 x(x2 mi) x2y) mi(X + +10 +, 01, XX =Volions the me=) (xY1=) oc gix/cIxy y11 +0Igix to s 1== s y,,↓O

Esercizio

2Sin(x(y)cos(xxy3 2y)il limite lin colcoli +si -8)y(910(x , xz, y2+&'Y'lyoSIM1/x10 0 limite e quindi il ageore esiste e0 se=001 .=, xy3- 2y)<y)cos(xsin(xin eco fix141 2lin li += es0)x2 y2 1010o + 0y)(x + xz y3, +,,, &I II 21 I(xy3)Xy3 M Ilylin1 &0 ==. y210(x + 01x2y) xz y2 x2 y2, + +, + zy3xyix 2xyz (xy))=+ )=O ceroliniduei ss per= f(x +(x 010y1pen0+y) , ,,(x 2y(cos(x2 sin 2y)Sim funzioni costyl IRSin(x)+.2 definite poiché continuee sono esu,+ x2y) 01(x y310 +, , hatraCiminote che11 Sie-(xy) 2y)<yc(xCim 2 <s(X 2y)2x yfin+sin +x =y) +(x (01 y) 1010 + y2x x201xz ,, * +y), ,+1[xycos(x 2y) Cxy 2y) SIXe cerslinieri+ the due peri e· = : x2 y2+x) y3 ↓+ Xyx((y1| :uguale Quindi esiste limite ed il è Oa

Esercizio

XYZ1lim 2limite Si colcoli il Fe- I= ..y)(x 10+ 0) &yhx, , +-exy xy) xyz1lin lin- I (x + 10y) 01xh(x y) 10,0) xh# y4+ , ,+ y)( +xy2 & -(x1y2 =| Ix1y dei il teorema due carolinieri0 E peryhx4 12 3 y2)yhxn + x il+ limite tende O↓ a↓O O

Esercizio

S in + 10e (xpor 01y), , nell'origine Verificare gexsie continuità la, y ↑10 .y) 01O (xper =, f(xlin Per che si continue essere deve even 0y) =,+1x y1 10 01, .kx2f(x linlim Un limite il esiste diversoV la funzione non e y) )=-nx,/( +X 01 01x131 424310 (xyse10, 1+ +, .:y è dunque continua nell'origine non

Esercizio 1210

Sgexigl = 0(x y) 10per , ,verigione continuità le di in 10 01. pec 10(x y) .0