Esercitazioni Teoria statistica delle decisioni

ESERCITAZIONE 06/10

X ~ Ber(p) se f_X(x;0) = 0^x(1-0)^1-x x in {0,1} E(x)=0 V(x)=0(1-0)

Y = sum_i=1ⁿ X_i, X_i iid ~ Ber(0) f_Y(y,0) = (n y) 0^y (1-0)^n-y y=0,1,...,n

E(y)=n0 V(y)=n0(1-0)

POISSON

X ~ Po(0) X = N - 1,0,1,... f_X(x;0) = e^-0 0^x/x! E(x)=0 V(x)=0

X₁...X_n X_i ~ Po(0_i) iid S_n = sum_i=1ⁿ X_i ~ Poi(sum_i=1ⁿ 0_i)

DISTRIBUZIONI ASSOLUTAMENTE CONTINUE

X ~ EN(0)

• 1) X in R⁺
• 2) f_X(x;0) = 0e^-0x
• 3) 0 in R⁺

E(x)=1/0 V(x)=1/0²

0 e detto RATE

X ~ Exp(0)

• 1) X in R⁺
• 2) f_X(x;0) = 1/0 e^-x/0
• 3) 0 in R⁺

1 = 1/0 => 1/(1/0) e^-1x = 1e^-1x

X ~ Esp(0)

E(x)=0 V(x)=0²

X₁...X_n iid EN(0) S_n = sum_i=1ⁿ X_i ~ Gamma(n,0)

Esp(0) -> f_X(x;0) = 1/0 e^-0x

e' irrreversibile

X ~ Gamma(2,0)

• 1) X in R⁺
• 2) f_X(x;2,0) = 0²/Gamma(2) x^2-1 e^-x0
• 3) 2,0 in R⁺

X ~ Gamma^s(2,0) = 1/(0²Gamma(2)) x^2-1 e^-x/0 scale = 1/0

Proprieta

X₁...X_n X_i ~ Gamma(2,0) indipendenti

S_n = sum_i=1ⁿ X_i ~ Gamma(sum 2_i,0)

RATE

E(X)=2/0

V(X)=2/0²

SCALE

E(X)=2 0

V(X)=2 0²

lo somma di esponenziali e una gamma

X ~ gamma (2,0)

somma di gamma => gamma = Es = gamma (1,0) => ΣE = gamma (n,0)

Se beta segue a = √1/2 con 7 e beta = 2 => gamma (√1/2;2) = V X²_v.

Proprieta ulteriori

se a > 0 X ~ gamma^s(a,b) aX ~ gamma(a, a·b)

se invece X ~ gamma^l(a,b) aX ~ gamma(a, b/a)

X ~ gamma^-1(a,b) se f_X(x;a,b) = b^a/Γ(a) x^a-2 e^-bx

∫₀^+∞ b^a/Γ(a) x^a-1 e^-bx = 1

∫₀^+∞ x^a-1 e^-bx dx = Γ(a)/b^a

se b=1 ottengo "vero integrale gamma"

∫₁^+∞ x^a-1 e^-x dx = Γ(a)

Integral gamma

se a ∈ R - R\{1}>0

se a ∈ N Γ(a) = (a-1)!

Γ(a+1) = aΓ(a)

Beta consiste di modellizzare le cose che variano o a 1 (probabilit...)

X ~ Beta(a,b)

1. X = [0,1]
2. f_X(x;a,b) = 1/B(a,b) x^a-1 (1-x)^b-1
3. a,b ∈ R⁺

B(a,b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)

contenuti di normalita, teoria di Beta

E(X) = a/(a+b)

V(X) = ab/((a+b)²(a+b+1))

andamenti molto variati

Cosa speciale: Beta(1,1) = uniforme [0,1]

1. supporto coincide
2. f_X(x;1,1) = 1/B(1,1) = x⁰(1-x)⁰ = 1/B(1,1)

Le famiglie esponenziali

Def. Una famiglia di distribuzioni probabilita F = {f_X(x; theta), theta in Theta} con supporto non dipendente dai parametri e detta famiglia esponenziale se

f_X(x; theta) = h(x) exp{eta(theta)T(x) - B(theta)}

Ber(theta)

f_X(x; theta) = theta^x(1-theta)^1-x = exp{x log theta + (1-x) log(1-theta)}

h(x) = 1

T(x) = x

eta(theta) = log theta/(1-theta)

B(theta) = log(1-theta)

07/10

F = {f_X(x; theta), theta in Theta}

f_X(x; theta) = h(x) . exp{eta(theta)T(x) - B(theta)}

Uniforme no perche il supporto e diverso dallo spazio dei parametri

X ~ N(theta₁, theta₂)

1. X = R
2. f_X(x; theta) = 1/(sqrt(2 pi theta₂)) exp{-(x-theta₁)²/(2 theta₂)}
3. theta₁ in R theta₂ in R⁺

E(X) = theta₁ V(X) = theta₂

Proprieta: se X₁, X_n X_i ~ N(mu_i, sigma_i²) indipendenti

a + sum_i=1ⁿ b_iX_i ~ N(a + sum_i=1ⁿ b_imu_i, sum_i=1ⁿ b_i²sigma_i²)

se X ~ N(a,s), X² ~ chi²₁

3- X₁, X_n iid ~ chi²_{nu i} > S_m = chi²_{sum nu i}

1) Normale a Media nota M₀

2) Normale a Varianza nota s²₀