Esercitazione Teoria statistica delle decisioni

f) Da e) sappiamo che I_θ(X(m)) = c . θ.

Perciò d_u = 1/c . X(m) -> E[d_u] = 1/c . c . θ

= θ ∀ θ > 0.

g) supponiamo I(E)(x) = x̄_m. Dato I(E)[X] = θ, si ha

θ = x̄_m. Banale!

h) I_θ(x̄_m) = 1/m I_θ[S_m] = 1/m . m I_θ[X] = θ.

V_θ(x̄_m) = 1/m² . m V_θ(X) = (k . θ)² / 3m.

15

a) ∫_β^+∞ αβ^α / θ^α+1 . θ dθ = ∫_β^+∞ αβ^α / θ^α dθ. Cerchiamo

di ricordarci ad una potenza per sfruttare il suggerimento.

= ∫_β^+∞ αβ^α / θ^α . (α-1) / (α-1) . β^α-1 / β^α-1 dθ

= α / (α-1) . β^α / β^α-1 ∫_β^+∞ (α-1) β^α-1 / θ^α dθ = α / (α-1) . β^α / β^α-1 = αβ / (α-1).

b) T(theta|u) x L(theta) - pi(theta) x 1/theta^m I(theta) [x(u),+oo) 1/theta^a+1 I(theta) [B,+oo)

x 1/theta^a+n+1+b I(theta) [B bar,+oo) = Pa(. | alpha bar, beta bar) cau

alpha bar = alpha + n, beta bar = max{beta, X(u)}.

Perce beta bar? Perche ho il prodotto tra le due radicali.

Questo prodotto e diverso da phi quando vol le considerare

piu separate, perche soddisfa tutte le richieste.

Se beta < X(n), non posso dire che I(theta) [beta,+oo]

perche l'unif richiede theta > X(u) > beta. Al contrario

per X(u) < beta. Prendendo il max{beta, X(u)} soddisfo

la cond. di Pareto.

c) E[O|u] = ^nbar/_{nbar - 1} = (^{a + n}/_{a + n - 1}) . max { X(u), b }.

d) pi(O|u) a 1/O^a . I(O) [b, +oo] -> pi (

La moda e funzione sara fissato b in quanto pi e monotona decrescente in O; MO[iu] = b.

e) Sostituire.

f) pi(O) = 1/O -> pi(O|u) a 1/O^m+1 . I(O) [X(u), +oo]

cioe Po(-1 m, X(u))

g) X(u) . n / u - 1 per definizione.

h) E_O[X(u)] = mX(u) / u - 1, dunque

E_O[ m X(u) / u - 1 ] = u / u - 1 . [E_O[X(u)]].

Ricordo che E_theta[X_n] = n/(n+1) . theta

e dunque n/(n-1) . n/(n+1) . theta = n²/(n² - 1) theta

Per n > 1 questa q.ta esiste ed e' sempre > 0.

II

a) Sia T = Sigma X_i²

a) pi(theta | u) x L(theta) . pi(theta) x 1/theta²ⁿ . exp{ - T/(2theta²) } .

. 1/theta^2(beta+1) . exp{ - alpha/(2theta²) } =

= 1/theta^2(m+beta)+1 exp{ - (alpha+T)/(2theta²) }

b) a' = alpha + T, b' = beta + n

c) Ricordoco de { (theta | u) - [ Gamma(b' - 1)/Gamma(b') a'/2 ] 1/2

dunque facendo a e β in luogo di α, β, ottengo

ζ as fuori.

d) θ̂_HW = √I/2n. Verificatelo!

e) Bote rotture.