Esercizi Statistica probabilità

Esercizi di probabilità - Formula di Bayes e formula delle probabilità totali

1) Calcolare la probabilità che esca una figura in un mazzo di 52 carte.

3 figure × 4 semi = 12 carte

P(figura) = 12/52 = 3/13

2) Calcolare la probabilità che esca 1 sola testa lanciando 2 volte una moneta.

S = {T, T}, {T, C}, {C, C}, {C, T} = 2² = 4

R = {1 sola testa} = P(C, T), P(T, C) = 2/4 = 1/2

Numero di eventi in cui esce 1 sola testa = 2

Spazio dei possibili = 4

P(1 testa) = 2/4 = 1/2

3) Lanciando 3 monete:

S = 2³ = 8

a) Escano 2 teste

Possibili = {(T, T, C), (T, C, T), (C, T, T)} = 3/8

b) Non esca nessuna testa

E = {(C, C, C)} = 1/8

c) Esca una sola testa

E = {(T, C, C), (C, T, C), (C, C, T)} = 3/8

d) Escano 3 teste

E = {(T, T, T)} = 1/8

4) Lanciando 2 dadi

S = 36

a) P(due somma = 5)

E = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} = 4/36 = 1/9

b) Escame 2 e 3

E = {(2, 3)} = 1/36

Esercizi di probabilità - Formula di Bayes e formula delle probabilità totali

1) Calcolare la probabilità che esca una figura in un mazzo di 52 carte.

3 figure x 4 semi = 12 carte

P([figura]) = 12/52 = 3/13

2) Calcolare la probabilità che esca 1 sola testa lanciando 2 volte una moneta.

S = (T, T), (T, C), (C, C), (C, T)

R = [1 sola testa] = P(C, T) + P(T, C) = 2/4 = 1/2

3) Lanciando 3 monete S = 2³ = 8

a) Escano 2 teste

E = (T, T, C), (T, C, T), (C, T, T) = 3/8

b) Non esca nessuna testa

E = (C, C, C) = 1/8

c) Esca una sola testa

E = (T, C, C), (C, T, C), (C, C, T) = 3/8

d) Escano 3 teste

E = (T, T, T) = 1/8

4) Lanciando 2 dadi S = 36

a) P di due somma = 5

E = (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) = 4/36 = 1/9

b) Esca un 2

E = (1, 1) = 1/36

Calcolare la probabilità di estrarre il Re di cuori, oppure (unione) l’asso di picche da un mazzo di 52 carte.

I due eventi sono incompatibili, perciò si può applicare il teorema delle probabilità totali.

P(B oppure N) = P[B] + P[N] = 10/60 + 30/60 = 2/3

7) Alla roulette

36 numeri ≠ 0

1 numero = 0

a) Calcolare probabilità che esca un numero compreso tra 5 e 9

E = {5, 6, 7, 8, 9}

S = 37 numeri

P[5≤x≤9] = E/S = 5/37

b) Calcolare probabilità che esca un multiplo di 10

E = {10, 20, 30}

S = 37

P[x = multiplo di 10] = 3/37

c) Probabilità che esca un numero compreso tra 5 e 9 oppure che sia un multiplo di 10

P[x] = 5/37 + 3/37 = 8/37

Scatole contenenti lampade

a) A, B, C = scatole che contengono lampade

• A = 2000 lampade / 1000 difettose
• B = 500 lampade / 100 difettose
• C = 1000 lampade / 100 difettose

TOT LAMPADE = 3500

TOT DIFETTOSE = 1200

Si sceglie una scatola a caso. Prob. che si estragga una lampada difettosa?

P(dif|S) = P(scatola Si)(P(dif|A) + P(dif|B) + P(dif|C))

= ¹/₃(¹⁰⁰⁰/₂₀₀₀ + ¹⁰⁰/₅₀₀ + ¹⁰⁰/₁₀₀₀)

= ¹/₃(¹/₂ + ¹/₅ + ¹/₁₀)

= ¹/₃(⁵/₁₀ + ²/₁₀ + ¹/₁₀)

= ¹/₃ * ⁸/₁₀ = ⁸/₃₀ = ⁴/₁₅

Urna con palline

b) Urna

3 palline B

2 palline N

2 estrazioni (con reimmissione)

1) Prob. che escano 2 palline nere bianche

#S = 5 palline

b) Prob. che escano 2 palline nere

²/₅ ³/₅

P(2LB¹) = ³/₅ * ³/₅ = ⁹/₂₅

P(2N) = ²/₅ * ²/₅ = ⁴/₂₅

c) Due palline di diverso colore

P(2LBJ) = ³/₅ * ²/₅ + ²/₅ * ³/₅ = ⁶/₂₅ + ⁶/₂₅ = ¹²/₂₅

11. Urna: 6 palline R, 4 palline B

#S = 10

Estrazione di 2 palline

Calcolare prob. che entrambe le palline siano rosse.

SENZA reinserimento: P(2R) = ⁶/₁₀ * ⁵/₉ = ³⁰/₉₀ = ¹/₃

CON reinserimento: P(2R) = ⁶/₁₀ * ⁶/₁₀ = ³⁶/₁₀₀ = ¹⁸/₅₀ = ⁹/₂₅

12. Urna: gettoni neri, rossi e bianchi

6 gettoni neri

5 gettoni rossi

4 gettoni bianchi

#S = 15

(a) Prob. che mi estragga un gettone nero = ⁶/₁₅ = ²/₅

(b) P(g. rosso) = ⁵/₁₅ = ¹/₃

(c) P(g. bianco) = ⁴/₁₅

(d) P(g. nero oppure g. rosso) = ²/₅ + ¹/₃ = ⁶⁺⁵/₁₅ = ¹¹/₁₅

(e) P(g. nero o g. rosso o g. bianco) = ²/₅ + ¹/₃ + ⁴/₁₅ = ⁶⁺⁵⁺⁴/₁₅ = ¹⁵/₁₅ = 1

13. Carte dello stesso seme

Pescato un 5.

Probabilità che venga pescata una carta più alta?

Carte vincenti: S = 12

Carte 55% x

Formula di Bayes

19. Macchinette in un bar

In un bar 2 macchinette:

A = ha 1/2 di prob. di vincita

B = ha 1/4 di prob. di vincita

...giocando una macchinetta a caso, in gioca 1 volta e mi unica...

Rispetto a ieri, anche che le probabilità di scegliere oggi una...

Usando la formula di Bayes, trovo:

P(A|v) = P(C|A₃) * P(C|A₃) / [1/2 x 1/2 + 1/4 x 1/2] = 8/4

20. Esami di lingua straniera

B1 = Inglese = 0,4 di scelta ➝ 0,3 di probabilità

B2 = Francese = 0,3 di scelta ➝ 0,2 di probabilità

B3 = Spagnolo = 0,2 di scelta ➝ 0,5 di probabilità

B4 = Tedesco = 0,1 di scelta ➝ 0,4 di probabilità

A = probabilità di passare l’esame con la massima votazione

Se uno studente ha preso 30/30 all’esame, qual è la probabilità che la materia sia Inglese?

Ovvero: P[B3|A]?

Con formula di Bayes:

P[A|B3] P[B3]

P[A|B3] = -----------------------------

ΣP[A^B3] P[B3]

= 0,1 x 0,4

-------------------------------

(0,1 x 0,4) + (0,1 x 0,9) + (0,2 x 0,3) + (0,2 x 0,3)

= 0,16 = 16%

21. Urna con biglie

Urna:

2 biglie B

5 biglie N

#S = 7

1ª estrazione:

• Se N = la rimette dentro con altre 2 nere
• Se B = no reimmissione

Estraendo la 2ª biglia, qual è la probabilità che sia nera?

1. POSSIBILITÀ = 1ª biglia nera - 2ª biglia nera
2. POSSIBILITÀ = 1ª biglia bianca + 2ª biglia nera

Si usa la formula delle prob. totali:

P[2ªN] = P[2ªN|1ªN] x P[1ªN] + P[2ªN|1ªB] x P[1ªB]

= (4/7 x 6/9) + (3/6 x 2/7) = 35/63 + 10/42 = 0,79 = 79%

22. Sacche

B1 = 16 p. difettosi + 4 p. buoni

B2 = 8 p. difettosi + 5 p. buoni

Lanciando un dado:

• Se esce 1 o esce 2 - prendo un pezzo da B1
• Se escono 3, 4, 5 o 6 - prendo un pezzo da B2

Qual è la probabilità di estrarre un pezzo difettoso?

Probabilità che esca B1 = 2 numeri su 6 = ¹/₃

Probabilità che esca B2 = 4 numeri su 6 = ²/₃

A = pezzi difettosi

Difettosi in B1 = ¹⁶/₂₀

Difettosi in B2 = ⁸/₁₃

Il pezzo difettoso non è condizionato, in questo caso, da presunte scelte precedenti (es. il sacchetto)

Perciò in uso il TH delle PROB. TOTALI:

P(A) = ¹/₃ × ¹⁶/₂₀ + ²/₃ × ⁸/₁₃

= P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2)

= ⁸/₁₀ × ¹/₃ + ¹⁶/₃₉ × ²/₃

= ⁸/₃₀ + ¹⁶/₃₉

= ⁸/₃₀ + ¹⁶/₃₉ = ⁴/₃₀ + ¹⁶/₃₀ = 0,68 = 68%

23. Studenti classificati

200 studenti sono stati classificati come al seguito:

PRIMO ESAME   Sì     No

Si considerino i seguenti eventi:

A: voto ≥ 24

B: superato esame

        Sì coordinamento

voto ≥ 24:  40     15

voto ≥ 25:  45     100

Estraendo a caso uno studente:

(a) Calcolare P(A)

P(A) = ^{40 + 15}/₂₀₀

(b) Calcolare P(B)

= ^{40 + 45}/₂₀₀ = ⁸⁵/₂₀₀ = 0,425

(c) Calcolare P(A ∪ B)

= ⁵⁵/₂₀₀ => ⁴⁰/₂₀₀ => 100 => 0,5

(d) Calcolare P(B|A)

P(B|A) = ^{P(B ∩ A)}/_P(B) = ^40/30/₈₅ = ^40/85/₂₀₀ = 0,442

24. Pratiche in un ufficio

In un ufficio, le pratiche vengono applicate da 3 impiegati: A, B, C.

La probabilità che la pratica venga terminata in una settimana è:

A B C

0,4 0,8 0,3

Vengono una pratica terminata in una settimana, a quale impiegato potrebbe appartenere? Qual è la prob. che una pratica venga terminata in una settimana?

Vengono il T.I. delle prob. totali sapendo che ogni impiegato ha il 1/3 di probabilità di essere scelto, abbiamo:

P(T 1 | A) + P(T 2 | A) + P(T 3 | A) = 1/3 x 1/100 + 1/3 x 80/100 + 1/3 x 30/100

= 3/4 x 4/10 + 1/3 x 8/10 + 1/3 x 3/10

= 3/4 x 2/3 x 5/4 x 3/10

= 15 15 15 30 3/8 x 3/8 = 15 / 4

= 15 15 30 30 3/8 x 3/8 = /4 dove T = probabilità che una pratica venga terminata in una settimana.

Per sapere a quale impiegato appartiene la pratica, bisogna elevare il valore di ogni T.E.O.:

P(C A | T), P(B B | T), P(C C | T).

Perciò

P(A | T) = P(T 1 | A) x P(A) = 0,4 x 8/3 2 2 1/41 0,26/ E(T 1)

P(E | T) = 1/2 15 15

P(B | T) = P(B B) x P(B) = 0,8 x 1/4 4,1 2 8 1 0,53/ (T 1)

P(C | T) = P(C C | T) = 0,2 x 3/3 1 1 0 2/ E(T 1)

= 1/1 10 10 5 / 1

L'ora probabile impiegare che c'è messo uniforme B.

NB: È stata usata la formula di:

P(T | x) = P(1 J 1 J) P(C)

P(T | X, T) = Σ P(T | X) x P(X)

Il denominatore equivale al T.H. delle probabilità totale calcolate come P(T).

25. Si lanciano 2 dadi

(a) Prob. che almeno uno di essi sia 6

1. Esce D₁ = 1 e D₂ = 6 ₁⁄₆ x ₁⁄₆ = ₁⁄₃₆
2. Esce D₁ = 2 e D₂ = 6 ₁⁄₆ x ₁⁄₆ = ₁⁄₃₆
3. Esce D₁ = 3 e D₂ = 6 ₁⁄₆ x ₁⁄₆ = ₁⁄₃₆
4. Esce D₁ = 4 e D₂ = 6 ₁⁄₆ x ₁⁄₆ = ₁⁄₃₆
5. Esce D₁ = 5 e D₂ = 6 ₁⁄₆ x ₁⁄₆ = ₁⁄₃₆
6. Esce D₁ = 6 e D₂ = 6 ₁⁄₆ x ₁⁄₆ = ₁⁄₃₆
7. Esce D₁ = 6 e D₂ = 5 ₁⁄₆ x ₁⁄₆ = ₁⁄₃₆
8. Esce D₁ = 6 e D₂ = 4 ₁⁄₆ x ₁⁄₆ = ₁⁄₃₆
9. Esce D₁ = 6 e D₂ = 3 ₁⁄₆ x ₁⁄₆ = ₁⁄₃₆
10. Esce D₁ = 6 e D₂ = 2
11. Esce D₁ = 6 e D₂ = 1

P(almeno 1 6) = ₁₁⁄₃₆

(b) Prob. che non esca nessun 6 nei dadi:

P(nessun 6) = ₂₅⁄₃₆

(c) Prob. che le due facce presentino numeri diversi tra loro:

P(diversi da 6) (₅⁄₆)² = ₅⁄₆ x ₅⁄₆ = ₅⁄₆

SPIEGAZIONE = Se capita 1 nel D₁...

26. Pezzi con difetti A e B

I pezzi possono presentare i difetti A e B.

Prob. che un pezzo presenti difetto A = 0,1

Prob. che un pezzo presenti difetto B = 0,8

Prob. che un pezzo presenti entr. i difetti = 0,01

Probabilità che un pezzo non presenti alcun difetto?

Pezzi che presentano almeno un difetto

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = = 1/10 + 8/10 - 1/100 = 9/10 = 90/100 = 0,89

P(¬difetti) = 1 - 89/100 = 0,11

Pezzi che non presentano difetti

NB = A ∪ B = A + B - A ∩ B

A ∪ B = A_C ∩ B_C = 1 - A ∪ B

27. Test AIDS

1/1000 popolo affetto da AIDS.

Si effettua un test:

999 = probab. che il test giudichi positivo a una persona con AIDS

2 = prob. che il test giudichi positivo a una persona che non ha AIDS

1 = probabilità che il test dica negativo a chi ne è affetto

998 = probabilità che il test dia negativo a qualcuno che ne è affetto

Si sceglie una persona e il risultato è positivo. Qual è la probabilità che lo sia veramente?

Ovvero: P(A | P)?

Con formula di Bayes:

P(A | P) = = P(P | A) × P(A) / [P(P | A) × P(A) + P(P | NA) × P(NA)]

= 999/1000 × 1/1000 / (999/1000 × 1/1000 + 2/1000 × 999/1000)

= 1/3 ≈ 0,33

A = affetto

NA = non affetto

P = positivo

N = negativo