Matematica - PNI

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2006

Seconda prova scritta

Y557 - Esame di Stato di liceo scientifico

Corso sperimentale

Piano nazionale informatica

Tema di: matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1

Un filo metallico di lunghezza λ viene utilizzato per delimitare il perimetro di un’aiuola rettangolare.

a) Quale è l’aiuola di area massima che è possibile delimitare?

Si pensa di tagliare il filo in due parti e di utilizzarle per delimitare un’aiuola quadrata e un’altra circolare. Come si dovrebbe tagliare il filo affinché:

b) la somma delle due aree sia minima?

c) la somma delle due aree sia massima?

Una aiuola, una volta realizzata, ha la forma di parallelepipedo rettangolo; una scatola, cioè, colma di terreno. Si discute di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione. Di quanto terreno in più, in termini percentuali, si ha bisogno?

Problema 2

Si considerino le funzioni f e g determinate da f(x) = log x e g(x) = ax², essendo a un parametro reale e il logaritmo in base e.

1. Si discuta, al variare di a, l’equazione log x = ax² e si dica, in particolare, per quale valore di a i grafici di f e g sono tra loro tangenti.

2. Si calcoli, posto a = −2, l’area che è compresa fra i grafici di f e g (con x > 0) nella striscia di piano determinata dalle rette d’equazioni y = −1 e y = −2.

3. Si studi la funzione h(x) = log x − ax² scegliendo per a un valore numerico maggiore di e² e se ne disegni il grafico.