Matematica PNI (22486)

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2009

Seconda prova scritta

Y557 – Esame di stato di liceo scientifico

Corso sperimentale

Piano nazionale informatica

Indirizzo: matematica

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

Problema 1

Sia la funzione definita da

f(x) = e^−x(1 + x + x²/2! + ... + xⁿ/n!),

dove x ∈ R e n è un intero positivo.

1. Si verifichi che la derivata di f(x) è: f′(x) = −e^−xxⁿ/n!

Si dica se la funzione ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando n è dispari, f(x) ≤ 1 per ogni reale.

2. Si studi la funzione ottenuta da f quando n = 2 e se ne disegni il grafico.

3. Si calcoli g(x) = f(x) quando n = 2.

4. Si calcoli ∫₀² g(x) dx e se ne dia l’interpretazione geometrica.

Problema 2

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy, si consideri la funzione f: R → R definita da f(x) = x³ + kx, con parametro reale k.

1. Si dica come varia il grafico di f al variare di k (positivo, negativo o nullo).

Sia k = −1 e γ il suo grafico. Si dimostri che γ e la retta d’equazione y = 1 hanno un solo punto in comune. Si determini l’ascissa di P, approssimandola a meno di 0,1 con un metodo iterativo di calcolo.

2. g(x) = x³ − x.

Sia D la regione finita del primo quadrante delimitata da γ e dal grafico della funzione inversa di g.

3. Si calcoli l’area di D.

4. La regione D è la base di un solido W le cui sezioni con piani perpendicolari alla bisettrice del primo quadrante sono tutte rettangoli di altezza 12. Si determini la sezione di area massima. Si calcoli il volume di W.