2006 - Liceo scientifico PNI

Sessione ordinaria 2006

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Seconda prova scritta

Y557 - Esame di Stato di liceo scientifico

Corso sperimentale

Piano nazionale informatica

Tema di: Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1

λ viene utilizzato per delimitare il perimetro di un’aiuola

Un filo metallico di lunghezza

rettangolare.

a) Quale è l’aiuola di area massima che è possibile delimitare?

Si pensa di tagliare il filo in due parti e di utilizzarle per delimitare un’aiuola quadrata e un’altra circolare. Come si dovrebbe tagliare il filo affinché:

b) la somma delle due aree sia minima?

c) la somma delle due aree sia massima?

Una aiuola, una volta realizzata, ha la forma di parallelepipedo rettangolo; una scatola, cioè, colma di terreno. Si discute di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione. Di quanto terreno in più, in termini percentuali, si ha bisogno?

Problema 2

( ) = = 2

f x log x

Si considerino le funzioni f e g determinate da e g x ax, essendo un parametro reale e il logaritmo in base e.

a

= 2

a, log x ax e si dica, in particolare, per quale valore di

l’equazione

1. Si discuta, al variare di

i grafici di f e g sono tra loro tangenti.

a = − 2 g

f

Si calcoli, posto a e, l’area che è compresa fra i grafici di f e g, con x > 0, nella striscia

2. = − = −

y y

1 2

.

di piano determinata dalle rette d’equazioni e 1

= − 2

Si studi la funzione h(x) = log x − ax scegliendo per a un valore numerico maggiore di

3. e

a 2

e

se ne disegni il grafico.

Sessione ordinaria 2006

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Seconda prova scritta

Y557 - Esame di Stato di liceo scientifico

Corso sperimentale

Piano nazionale informatica

Matematica

Tema di:

Questionario

1. Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64^a casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38 g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’inventore.

2. I poliedri regolari – noti anche come solidi platonici – sono, a meno di similitudini, solo cinque: il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro. Sai dimostrarlo?

3. In un piano sono dati una retta r e due punti A e B ad essa esterni ma situati nel medesimo semipiano di origine r. Si trovi il più breve cammino che congiunga A con B toccando r.

α

= −

sen x − x − 1 ha una e una sola radice e, utilizzando una calcolatrice tascabile, se ne dia una stima. Si descriva altresì una procedura di calcolo che

4. Si dimostri che l’equazione

calcolatrice tascabile, se ne dia una stima. Si descriva altresì una procedura di calcolo che

α

consenta di approssimare con la precisione voluta.

5. Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a + b)ⁿ è uguale a 2ⁿ per ogni

∈ .

n ∈ N

6. L’equazione risolvente un dato problema è: k cos 2x + 5k − 2 = 0, dove k è un parametro reale e

0° < x < 90°

x ha le seguenti limitazioni: 15° < x < 45°. Si discuta per quali valori di k le radici dell’equazione siano soluzioni del problema.

7. Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del secolo scorso, del quale ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda: “che cos’è la probabilità?” era solito rispondere: “la probabilità non esiste!”. Quale significato puoi attribuire a tale risposta?

È possibile collegarla ad una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?

8. Un tiratore spara ripetutamente ad un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro. Quanti tiri deve fare per avere probabilità di colpirlo almeno una volta?

≥ 0,99

9. Della funzione si sa che è derivabile e diversa da zero in ogni punto del suo dominio e, ancora, che: f’(x) = f(x) e f(0) = 1. Puoi determinare f(x)?

10. Tenuto conto che:

π

∫

0

1

dx

────── = ──

1 + x² 4

calcola un’approssimazione di π utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.

____________________________

Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

Nicola De Rosa Liceo Scientifico PNI anno 2006

Soluzione di De Rosa Nicola

a)

L’area è:

λ λ λ

 

( ) x

= − = − ≤ ≤

2

 

A(x) = x(λ − x) = λx − x²

* , 0 ≤ x ≤ λ

 

2 2 2

Calcoliamo la derivata prima e seconda:

λ λ

A’(x) = λ − 2x > 0 → x < ──

2

A”(x) = − 2 < 0 ∀ x → x = ──

2

λ

── è l’ascissa del massimo, per cui

2

λ λ

  2

( )

= = =

 

x A

A_max = A(──) = ──, cioè l’area massima la si ha in corrispondenza di un quadrato

 

2 16

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Nicola De Rosa Liceo Scientifico PNI anno 2006

Ora suddividiamo il perimetro in due: λ

2p_circ = λ − x è il perimetro dell’aiuola circolare e 2p_q = x quello del quadrato

circ q λ −

− 2

 

  ( ) λ

x x

=  

  per cui l’area è A

Con queste convenzioni si ha che il lato del quadrato è q  

 

4 4

2

 

  2

( )

x x x

=

=  

  π

per cui l’area sarà A

mentre il raggio del cerchio sarà π c  

  π π

2 2 4

per cui l’area totale sarà

− 2

  2

( ) λ x x λ

+ ≤ ≤

=  , 0

A_tot(x) = ── x² + ──(λ − x)², 0 ≤ x ≤ λ

 