Matematica (P.N.I.)

Esame di Stato di liceo scientifico - 2003

Corso sperimentale - P.N.I.

Tema di: matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti del questionario.

Problema 1

Nel piano sono dati: il cerchio g di diametro OA = a, la retta t tangente a g in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con g, il punto C intersezione di r con t.

La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s'intersecano in P.

Al variare di r, P descrive il luogo geometrico G noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].

1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni: OD : DB = OA : DP; OC : DP = DP : BC, ove D è la proiezione ortogonale di B su OA.

2. Si verifichi che, con un'opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy, l'equazione cartesiana di G

3. Si tracci il grafico di G e si provi che l'area compresa fra G e il suo asintoto è quattro volte quella del cerchio y.

Problema 2

Sia

con a, b, c numeri reali. Si determinino a, b, c in modo che:

1. La funzione f sia pari;

2. f(0) = 2;

3.

Si studi la funzione g ottenuta sostituendo ad a, b, c i valori così determinati e se ne disegni il grafico G.

Si consideri la retta r di equazione y = 4 e si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti in cui essa interseca G, mettendo in atto un procedimento iterativo a scelta.

Si calcoli l'area della regione finita del piano racchiusa tra r e G.

Si calcoli

Si determini la funzione g' il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta r.

Questionario

1. Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?

2. Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica, di cui alcune difettose. A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia difettosa?

3. Quale è la capacità massima, espressa in centilitri, di un cono di apotema 2 dm?

4. Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y = 2 quattro volte.

5. Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (1652-1719)], che se l'equazione:

   ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell'equazione:

6. Si vuole che l'equazione

   abbia tre radici reali. Quale è un possibile valore di b?

7. Verificare l'uguaglianza: