Matematica (P.N.I.) (3872)

Esame di stato di liceo scientifico

Corso sperimentale - P.N.I.

Tema di matematica

Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva:

1. Funzione reale di variabile reale

1. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale tale che valgano le seguenti condizioni:

f(x) > 0, f'(x) > 0, f''(x) = 0,

0 0 0

dove x0 è un particolare valore reale.

a) Spiegare perché tali condizioni non sono sufficienti a determinare l'andamento di f(x) in un intorno di x0.

b) Trovare almeno tre funzioni polinomiali f(x), di grado superiore al 1°, aventi andamenti diversi in x = 0, tali che:

0 f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 0.

c) Determinare, se possibile, tutte le rette tangenti ai grafici delle funzioni trovate e parallele alla retta di equazione y = x + 1.

d) A completamento del problema dimostrare la formula che esprime la derivata, rispetto ad x, della funzione xⁿ, dove n è un intero qualsiasi non nullo.

2. Piano cartesiano e affinità

2. Nel piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnati i punti: A(0, 2), B(1, 1), C(1, 0).

e) Trovare l'equazione della circonferenza g inscritta nel triangolo OAB.

f) Determinare le equazioni dell'affinità a che ha come punti uniti i punti O e C e trasforma il punto B nel punto A.

g) Calcolare l'area del triangolo CAA', dove A' è il punto trasformato di A nell'affinità a.

h) Stabilire se l'affinità a ha altri punti uniti, oltre ad O e C, e trovare le sue rette unite.

i) Stabilire quali, fra le rette unite trovate, risultano tangenti o esterne a g.

3. Funzione assegnata

3. Assegnata la funzione:

dove il logaritmo si intende in base e, il candidato: