Matematica (3863)

2001 - Liceo scientifico

Seconda prova

Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1

Si consideri la seguente relazione tra le variabili reali x, y:

,

dove a è un parametro reale positivo.

a) Esprimere y in funzione di x e studiare la funzione così ottenuta, disegnandone il grafico in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy).

b) Determinare per quali valori di a la curva disegnata risulta tangente o secante alla retta t di equazione x+y=4.

Scrivere l’equazione della circonferenza k che ha il centro nel punto di coordinate (1,1) e

c) intercetta sulla retta t una corda di lunghezza 2.

Calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui il cerchio delimitato da k è diviso

d) dalla retta t.

e) Determinare per quale valore del parametro a il grafico, di cui al precedente punto a), risulta tangente alla circonferenza k.

Problema 2

Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che: .

Siano poi M ed N i punti medi rispettivamente dei segmenti AD ed AE.

a) Dimostrare che il quadrilatero DENM è la quarta parte del triangolo ABC.

b) Ammesso che l’area del quadrilatero DENM sia , dove a è una lunghezza assegnata, e ammesso che l’angolo A C sia acuto e si abbia inoltre:

verificare che tale quadrilatero risulta essere un trapezio rettangolo.

c) Dopo aver riferito il piano della figura, di cui al precedente punto b), ad un conveniente sistema di assi cartesiani, trovare l’equazione della parabola, avente l’asse perpendicolare alla retta BC e passante per i punti M, N, C.

d) Calcolare, infine, le aree delle regioni in cui tale parabola divide il triangolo ADC.

Questionario

→ →

1. Indicata con f(x) una funzione reale di variabile reale, si sa che f(x) l per x a, essendo l ed a numeri reali. Dire se ciò è sufficiente per concludere che f(a) = l e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale, tale che

2. f(0)=2. Calcolare: ,

dove e è la base dei logaritmi naturali.

Si consideri il cubo di spigoli AA’, BB’, CC’, DD’, in cui due facce opposte sono i quadrati ABCD e A’B’C’D’. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani ACC’A’A e D’DE dividono il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa.

4. Un tronco di piramide ha basi di aree B e b ed altezza h.