Matematica PNI - Soluzione problema 1

Soluzione problema 1 (PNI)

Punto 1: g(x)

Calcoliamo e studiamo la derivata prima di g(x).

Si ha:

g'(x) = ln a · a^x − ln a · a^−x = ln a (a^x − a^−x).

a^x è sempre positivo, avremo g'(x) > 0 per:

poiché a¹ − a > 0, ln a > 0, distinguiamo i casi:

a: 0 < a < 1;

• x² − 2x > 0.

Essendo ln a < 0, per avere g'(x) > 0 deve essere:

x² − 2x < 0 ⇒ x < 2 ⇒ x > 0 ⇒ 0 < x < 2 (la base è minore di 1).

a > 1;

• x² − 2x > 0.

Essendo ln a > 0, per avere g'(x) > 0 deve essere:

x² − 2x > 0 ⇒ x > 2 ⇒ x > 0 (la base è minore di 1).

In entrambi i casi la funzione è strettamente crescente, ha derivata prima positiva, per x > 0 e strettamente decrescente, ha derivata prima negativa, per x < 0.

Che è quanto si voleva provare.

Punto 2

a = e.

Posto a = e, studiamo la funzione:

f(x) = e^x + e^−x = cosh x.

Per lo studente che ricorda il grafico della funzione esponenziale:

y = (e^x + e^−x) / 2 = cosh x,

sarà sufficiente rappresentare tale funzione “dilatata” lungo l’asse delle y per un fattore uguale a 2, cioè disegnare la funzione:

y = 2 cosh x = e^x + e^−x = e^x + e^−x.

che è quella richiesta; entrambe le curve sono rappresentate in figura 1 (a lato).

Studiamo comunque in modo dettagliato la funzione richiesta.

y = cosh x.

Dominio

Dominio: R.

Eventuali simmetrie particolari

Poiché la funzione f(x) = f(−x) è pari.

Intersezioni con gli assi

La funzione, sempre positiva, non ha intersezioni con l’asse x:

e^x + e^−x > 0.

Studio del segno

∀x ∈ R.

4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

Comportamento agli estremi del dominio

Si ha:

lim_x→−∞ e^x = 0, lim_x→+∞ e^−x = 0.

e^x + e^−x = +∞ per x → −∞ e x → +∞.

9

8 y

7

6

5

4

3

2

1 x

Eventuali asintoti

Poiché la funzione non ha asintoti orizzontali.