1990 - PNI sessione ordinaria problema 3

3° Problema maturità PNI 1989 - 1990 sessione ordinaria Soluzione a cura di Nicola De Rosa

−

( ) 1 x

=

f x

Si studi la funzione −

2

x x

3

e si dica se per essa è valido il teorema della media integrale nell’intervallo [1; 2],

giustificando l’affermazione. In caso di risposta affermativa si determini internamente a detto

intervallo il valore c della variabile indipendente di cui il teorema stesso assicura l’esistenza

quando la funzione è continua.

Risoluzione −

( ) 1 x

=

Studiamo la funzione f x −

2 3

x x

{ }

R / 0

,

3

: ;

Dominio −

( ) ( )

1 x

= = ⇒ ;

:

Intersezione asse delle ascisse 0 1

,

0

f x A

−

2 3

x x

: non ve ne sono;

Intersezioni asse delle ordinate

: non è una funzione nè pari nè dispari;

Eventuali simmetrie −

( ) 1 x

= >

: 0 la studiamo, risolvendo separatamente numeratore e

Positività f x −

2 3

x x

denominatore:

( ) ( )

= − > ⇒ <

N x x x

1 0 1 ( ) N x

⇒ = > ⇒ < ∨ < < ;

f x x x

0 0 1 3

( )

( ) = − > ⇒ < ∨ >

2 D x

D x x x x x

3 0 0 3

:

Asintoti verticali

− −

1 x 1 x

= = ∞

∓

lim lim ( )

−

−

2

± ±

→ → x x 3

x 3 x

x 0 x 0 ⇒ = =

x 0

, x 3 sono asintoti verticali;

− −

1 x 1 x

= = ∞

∓

lim lim ( )

−

−

2

± ±

→ → x x 3

x 3 x

x 3 x 3 − x

1 =

= y 0 è asintoto orizzontale;

Asintoti orizzontali: lim 0 per cui

−

2

→ ±∞ x x

3

x

Asintoti obliqui: la presenza dell’asintoto orizzontale esclude la presenza di quello

obliquo trattandosi di una funzione razionale fratta;

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è

( ) ( )

( )( )

− − − − − − +

2

2

( ) { }

x 3 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3

= = > ∀ ∈ quindi la funzione è

f ' x 0 x R / 0

,

3

( ) ( )

2

2

− −

2

2

x 3 x x 3 x

strettamente crescente in tutto il dominio. ( )

− + − +

3 2

( ) x x x

2 3 9 9

=

Concavità e convessità: la derivata seconda è . La

f x

' ' ( )

3

−

2

x x

3

fun