Matematica PNI - Soluzione questionario

QUESTIONARIO SPERIMENTALE PNI

Quesito 1

Il problema della quadratura del cerchio consiste nella ricerca di un quadrato di area pari a quella del cer-

chio dato.

È un problema classico che si è dimostrato irrisolvibile per via elementare, cioè non è possibile, usando solo

r.

riga e compasso, ottenere la costruzione di un quadrato equivalente ad un cerchio di raggio L’area, otte-

nuta valutando le approssimazioni per difetto e per eccesso delle aree dei poligoni inscritti e circoscritti al

2

A r l r

= π = π

cerchio, è data da , da cui si ricava che il quadrato equivalente dovrebbe avere per lato

che è un numero trascendente perché tale è .

π

La dimostrazione dell'impossibilità di quadrare il cerchio (per via elementare) è una conseguenza del

π

fatto che è un numero trascendente. Quesito 2

S(x)

L’area di un generico rettangolo (se-

x e

1 ≤ ≤ ) di

zione del solido assegnato,

b x h x

base ed altezza è data

ln 3 ln

= =

dalla formula: 2

( ) ( )

S x b h x x x

( ) ln 3 ln 3ln

= ⋅ = ⋅ = .

V S

Il volume del solido è dato allora

e,

dall’integrale, tra 1 ed dell’area del

triangolo e quindi:

e e

∫ ∫

2 2

V x x dx x dx

( ) 3 ln 3 ln .

= =

1 1

Risolviamo intanto, per parti, l’integrale

∫ 2 x dx .

indefinito: ln

Si ha: 1

∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2

x dx x dx x x x x dx x x x dx

ln 1 ln ln 2 ln ln 2 1 ln

= ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ =

x

⎡ ⎤

1

∫

2 2 2

[ ]

x x x x x dx x x x x x x x x x x

ln 2 ln ln 2 ln ln 2 ln 2

= ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − = − + ,

⎢ ⎥

x

⎢ ⎥

⎣ ⎦

pertanto: e e

⎡ ⎤

∫ 2 2 ( ) ( )

V x x dx x x x x x e e e e

( ) 3 ln 3 ln 2 ln 2 3 2 2 2 3 2 2,15 , che è un valore ap-

= = − + = − + − = −

⎣ ⎦ 1

1

prossimato per difetto a meno di 1 centesimo.

QUESITO 3

Ricordiamo intanto le seguenti definizioni: G

“si dice Gruppo ogni insieme non vuoto dotato di un’operazione interna, che indichiamo generi-

ƒ camente con il simbolo *, che gode delle seguenti proprietà:

( ) ( )

a b c a b c a b c G

1. è associativa, cioè * * * * , , ,

= ∀ ∈

G tale che

2. in esiste l’elemento neutro rispetto all’operazione *, cioè u G

∃ ∈

a u u a a a G

* * ,

= = ∀ ∈ ,

3. ogni elemento ammette il simmetrico rispetto all’operazione *, cioè ,

a G a G a G

'

∈ ∈ ∀ ∈

a a a a u

tale che .”

* ' '*

= =

a G

'

∃ ∈ O O

Si dice omotetia di centro (dove per possiamo considerare l’origine degli assi) e rapporto

ƒ JJJJG JJJG

P, P’

h OP h OP e

la trasformazione del piano che associa, ad ogni punto il punto tale che:

0 '

≠ = ⋅

O h

( , )

ω

si indica con . O h

Le equazioni dell’omotetia di centro e rapporto sono:

0

≠

⎧ x hx

' =

⎪

⎪

O h

( , ) :

ω ⎨

⎪ y hy

' =

⎪⎩

O ” è

Per verificare che l’insieme delle omotetie di centro con l’operazione di composizione (prodotto) “ D

un gruppo iniziamo con l’osservare che la composizione (prodotto) di omotetie è un’operazione interna; in-

fatti se: ⎧ ⎧

x hx x h x

' '

= =

⎪ ⎪

⎪ ⎪ 1

e

O h O h

( , ) : ( , ) :

ω ω

⎨ ⎨

1

⎪ ⎪

y hy y h y

' '

= =

⎪ ⎪

⎩ ⎩ 1

sono le equazioni di due omotetie si avrà: ( )

⎧ x h h x

' = ⋅

⎪

⎪ 1

O h O h

( , ) ( , ) :

ω ω

D ⎨

1 ⎪ ( )

y h h y

' = ⋅

⎪

⎩ 1

O h h

Che è ancora un’omotetia di centro e rapporto .

⋅ 1

Inoltre:

1. Proprietà associativa: ⎧ x h x

' =

⎪

⎪ 2 si avrà:

Considerata una terza omotetia O h

( , ) :

ω ⎨

2 ⎪ y h y

' =

⎪

⎩ 2

( ) ( )

O h O h O h O h O h O h

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

ω ω ω = ω ω ω

D D D D

1 2 1 2

Infatti: ( ( ) )

⎧ x h h h x

' = ⋅ ⋅

⎪

⎪ 1 2