2007 - Liceo scientifico di ordinamento

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Seconda prova scritta

M557 - Esame di Stato di Liceo Scientifico

Corso di ordinamento

Tema di: Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario.

Problema 1

C A B

Si considerino i triangoli la cui base è AB = 1 e il cui vertice C varia in modo che l’angolo si

A B C

mantenga doppio dell’angolo.

1. Riferito il piano ad un conveniente sistema di coordinate, si determini l’equazione del luogo

γ

geometrico descritto da C.

γ,

2. Si rappresenti tenendo conto, ovviamente, delle prescritte condizioni geometriche.

A B C

3. Si determini l’ampiezza dell’angolo che rende massima la somma dei quadrati delle

altezze relative ai lati AC e BC e, con l’aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore

approssimato in gradi e primi (sessagesimali). −

5 1

= ° =

A B C 36 allora è AC

4. Si provi che se.

2

Problema 2

Si consideri un cerchio C di raggio r.

1. Tra i triangoli isosceli inscritti in C si trovi quello di area massima.

S l’area del poligono regolare di n lati inscritto in C. Si dimostri che

2. Si denoti con n

π

2

n

= 2

S r sen e si trovi un’analoga espressione per l’area del poligono regolare di n lati

n 2 n

circoscritto a C. → ∞

n

3. Si calcoli il limite di S per.

n

4. Si spieghi in che cosa consista il problema della quadratura del cerchio e se, e in che senso, si

tratti di un problema risolubile o meno.

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Seconda prova scritta

M557 - Esame di Stato di Liceo Scientifico

Corso di ordinamento

Tema di: Matematica

Questionario

y 2 x,

1. La regione R delimitata dal grafico di

dall’asse x e dalla retta x = 1 (in figura) è la base di

un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S

con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte

triangoli equilateri. Si calcoli il volume di S.

2. Le misure dei lati di un triangolo sono 40, 60 e 80 cm. Si calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le

ampiezze degli angoli del triangolo approssimandole in gradi e primi sessagesimali.

3. Si determini, al variare di k, il numero delle soluzioni reali dell’equazione:

3 2

x – x – k + 1 = 0

4. Un serbatoio di olio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 1 metro. Si dica quanti

litri di olio il serbatoio può contenere.

3

y = x + 8 soddisfa le condizioni del teorema del valor medio (o teorema di

5. Si mostri che la funzione

Lagrange) sull’intervallo [-2, 2]. Si determinino i valori medi forniti dal teorema e se ne illustri il significato

geometrico.

6. Si sa che il prezzo p di un abito ha subìto una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si

ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni. Che cosa si può dire del prezzo finale

dell’abito?

7. Se f(x) è una funzione reale dispari (ossia il suo grafico cartesiano è simmetrico rispetto all’origine), definita e

integrabile nell’intervallo [-2, 2], che dire del suo integrale esteso a tale intervallo?

Quanto vale nel medesimo intervallo l’integrale della funzione 3+ f(x)?

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

n n 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

=

4 15

8. Si risolva l’equazione: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 3 −

∫ 2

1 x dx

9. Si calcoli l’integrale indefinito e, successivamente, si verifichi che il risultato di

1 −

∫ 2

1 x dx è in accordo con il suo significato geometrico.

0

10. Per orientarsi sulla Terra si fa riferimento a meridiani e a paralleli, a latitudini e a longitudini. Supponendo

che la Terra sia una sfera S e che l’asse di rotazione terrestre sia una retta r passante per il centro di S, come si

può procedere per definire in termini geometrici meridiani e paralleli e introdurre un sistema di coordinate

geografiche terrestri?

____________________________

Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

Nicola De Rosa Liceo scientifico di ordinamento anno 2007

Soluzione

Consideriamo la seguente figura:

1) =

Il punto C ha coordinate generiche C ( x, y ). Ma il triangolo AHC è rettangolo per

α

=

cui tan( 2 )

y x.

Ora applicando il teorema dei seni al triangolo ABC si ha:

AC AB 1

= = →

α π α α

−

sin( ) sin( 3 ) sin(

3 )

α α

sin( ) sin( )

= = =

AC α α α

+

sin(

3 ) sin( 2 )

α

sin( ) =

α α α α

+

sin( 2 ) cos( ) cos( 2 ) sin( )

α

sin( ) 1 1

= =

[ ]

[ ] [ ]

α

α α α α +

+ −

2 2 2 cos( 2 ) 1

sin( ) 2 cos ( ) cos( 2 ) 4 cos ( ) 1 www.matematicamente.it

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Ma vale anche che: α x

cos( 2 )

α α

= = = → =

AH x AC cos( 2 )

cos( 2 ) [ ]

α + − x

2 cos( 2 ) 1 1 2

Quindi abbiamo due condizioni:  x

α =

cos( 2 )

 −

 x

1 2

 y y

 α α

= =

sin( 2 ) cos( 2 )

 −

 x x

1 2

Ricordando la relazione fondamentale α α

+ = →

2 2

sin ( 2 ) cos ( 2 ) 1

2 2

 

 

y x

+ = →

 

  1

− −

 

 

x x

1 2 1 2

+ − − = →

2 2 2

x y x

(

1 2 ) 0

− + − =

2 2

y x x

3 4 1 0

Per cui si ha: γ − + − =

2 2

y x x

: 3 4 1 0

Per capire di che curva si tratta riscriviamola in questo modo:

( )  

4 1

− + − = ⇔ − − + = ⇔ − − + = ⇔

2 2 2 2 2 2

 

y x x y x x y x x

3 4 1 0 3 4 1 0 3 0

 

3 3

 

 

4 1 1 1 4 4 1

− − + + − = ⇔ − − + + = ⇔

2 2 2 2

 

 

y x x y x x

3 0 3 0

 

 

3 3 3 3 3 9 3

( )

2

− 2

x 2

y

3 − = 1

1 1

9 3

Ora se effettuiamo una traslazione lungo l’asse delle ascisse cioè effettuiamo la trasformazione

2

= −

x ' ' x la curva diventa:

3 ( )

2 ( )

− 2

x 2

2 2

y x y

' '

3

γ γ

− = → − = 1

: 1 ' ' :

1 1 1 1

9 3 9 3 www.matematicamente.it

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= ±

y x 3. Per cui la nostra curva è una iperbole

cioè otteniamo la classica iperbole con asintoti

 

2

= ± −

 

traslata con asintoti y 3 x

 

3

2)

Il problema impone però delle limitazioni geometriche.

α

° ≤ ≤ °

Innanzitutto deve essere 0 60. Ora poiché il coseno in questo intervallo è decrescente allora

1

α α α α

° ≤ ≤ ° ⇔ ≤ ≤ ° → ° ≤ ≤ ° ⇔ − ≤ ≤

0 60 0 2 120 cos(

120 ) cos( 2 ) cos( 0 ) cos( 2 ) 1

2

Ma x x

1

α = → − ≤ ≤ →

cos( 2 ) 1

− −

x x

1 2 2 1 2

−

  

x x

3 1 1 1

≤ ≤ ≤ >

1 0 x x

,

  

− −

  

x x

1 2 1 2 3 2

⇔ ⇔ ⇔

  

x 1 1 1

  

≥ − ≥ <

0 x



 

− − 

 

x x

1 2 2 1 2 2

1

≤

x 3 ≥

Inoltre per come introdotto il sistema di riferimento deve aversi 0

y, quindi il nostro problema va

discusso per  1

≤

 x

 3

 ≥

y 0

γ

= − + − =

2 2

Ricaviamo ora la funzione y f (x) dalla curva: y 3 x 4 x 1 0.

Si ha: = ± − +

2

y 3 x 4 x 1

≥

Ma con la limitazione 0

y la soluzione da prendere è quella positiva per cui la nostra funzione è

= − +

2

y 3 x 4 x 1 www.matematicamente.it

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1

≤

= − +

2 x

y 3 x 4 x 1 con la limitazione

Studiamo allora la funzione 3 1

1 ≤

− + = − − ≥ → ≥ ∪ ≤

2 x impone

3 4 1 (

3 1

)( 1

) 0 1

x x x x x x che con la limitazione

Dominio: 3

3

 

1

− ∞

 ;

come dominio, 

 

3 1

= − + = → − + = → = =

2 2

3 4 1 0 3 4 1 0 1

,

y x x x x x x e con la

Intersezioni asse ascisse: 3

1

=

x;

limitazione l’unica intersezione è 3

= → =

Intersezioni asse delle ordinate: