Matematica PNI - Soluzione problema 2

Soluzione problema 1 (ordinamento)

1. Poiché il problema presenta una simmetria

x,

rispetto all’asse limitiamoci inizialmente a

considerare il caso in cui C appartenga al

semipiano positivo delle ordinate.

Riferito il triangolo ad un sistema di assi coordinati

T A,

ortogonali con origine coincidente con dalla figura

C;

si deducono le coordinate del punto

ricordando infatti le proprietà dei triangoli rettangoli

si ha: ( )

H C AC AC

cos 2α; sen 2α

Dal teorema dei seni si ottiene:

AC 1 sen α sen α

AC

= ⇒ = =

( )

sen α sen (π − α) sen 3α

3 sen 4 sen

α − α

1 1 1

AC .

⇒ = = =

⏡ ⏢ 1 2 cos 2α

+ α

2 2

3 4 sen 1 cos 2

− α − α ⏢

⏡

3 4

− ⏢

⏡

⏢

⏡ 2 ⏢

Pertanto le coordinate parametriche del punto C sono:

⏧ cos 2α

⏧

⏧

⏧ x =

⏧ 1 2 cos 2α

+ α

⏧

( )

H C AC AC C

cos 2α; sen 2α ⇒ ⎨ .

⏧ sen 2α

⏧ y =

⏧

⏧⏧ 1 2 cos 2α

+ α

⏧⎩

equazioni parametriche del luogo richiesto sono: x y,

Ricavando dal sistema e , in funzione di e si ottiene:

cos 2α sen 2α

⏧ x

⏧ cos 2α

⏧

⏧ ⏧

⏧ ( )

x x x x

2 cos 2α cos 2α 1 2 cos 2α

+ α = α ⇒ α − = ⇒ α =

x = ⏧

⏧ x

1 2

−

1 2 cos 2α

+ α ⏧

⏧

⏧

C ⇒

⎨ ⎨ ⎨ ⎨

x y xy xy y

2 2

⏧ ⏧ − +

sen 2α

⏧ ⏧

y y y y

2 cos 2α sen 2α sen 2α 2 sen 2α

+ α = α ⇒ α = + ⇒ α = =

y = ⏧ ⏧ ⏧ ⏧

⏧ ⏧ ⏧ ⏧

⏧ ⏧ ⏧ ⏧ ⏧

⏧ ⏧ ⏧ ⏧

x x x

1 2 1 2 1 2

− − −

1 2 cos 2α

+ α

⏧

⎩ ⎩

⎩ ⎩

⎩ ⎩

⎩ ⎩

⏧ ⏧ x

⏧ cos 2α =

⏧ x

1 2

−

⏧

⏧

E dunque, riepilogando: .

⎨

⏧⏧ y

sen 2α =

⏧⏧ x

1 2

⎩ − ( )

Dalla relazione fondamentale della goniometria sen²α + cos²α = 1

si ottiene l’equazione cartesiana del luogo:

γ

2 2

⏡ x ⏢ ⏡ y ⏢

⏣ ⏤ ⏣ ⏤

⏣ 2 ⏤ ⏣ 2 ⏤

x y x

3 4 1 0.

− − + =

da cui segue, svolgendo i calcoli,

1

+ =

⏣ ⏤

⏣ ⏤

⏣ ⏤

⏣ ⏤

x x

⏣ 1 2 ⏤ ⏣ 1 2 ⏤