Formulario di matematica per l'esame di maturità

Formulario di matematica

v.5.1

β − ρε!

1

Daniele Angella

20 aprile 2005

1 daniele.angella@gmail.com

2

Prefazione

Perché avete usurpato il ruolo degli dèi che in altri tempi guidarono la condotta degli uomini, senza arrecare conforti soprannaturali, ma soltanto la terapia delle grida più irrazionali: il centravanti verrà ucciso all'imbrunire.

Perché il vostro centravanti è lo strumento che adoperate per sentirvi dèi che gestiscono vittorie e sconfitte dalla comoda poltrona di cesari minori: il centravanti verrà ucciso all'imbrunire.

Perché l'imbrunire è la tarda ora in cui scendono i bioritmi dell'entusiasmo, e lo sgozzamento e il rantolo suonano come una musica non meno truce che malinconica: il centravanti verrà ucciso all'imbrunire. Il Centravanti è stato assassinato verso sera

M. V. Montalban,

c

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°

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A

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Ogni commento, suggerimento o correzione è ben accetto. daniele.marconi@email.it

Grazie a chi mi ha aiutato nella correzione: Daniele Marconi (),

leonardoferro@gmail.com

Leonardo Ferro ().

Parte I

Formulario

3

Capitolo 1: logica e insiemistica

1.1 Logica

1.1.1 Definizioni

Definizione 1 (Proposizione, Enunciato) Si dice proposizione (o enunciato) un'espressione del linguaggio naturale per cui sia possibile attribuire un valore di verità (vero = T = 1 = ⊤; falso = F = 0 = ⊥). Una proposizione si dice complessa se è composta da proposizioni semplici collegate tra loro da connettivi logici.

Definizione 2 (Predicato) Si dice predicato una frase contenente variabili che diventi una proposizione qualora si specifichi il valore delle variabili stesse.

1.1.2 Connettivi logici

• Non (oppure: ¬); unario; complementare; ¬p ha valore vero se e solo se p ha valore falso;
• E; binario; intersezione; p ∧ q ha valore vero se e solo se p e q hanno entrambi valore vero;
• O; binario; unione; p ∨ q ha valore vero se almeno uno tra p e q ha valore vero;
• Se ... allora, implica, condizione sufficiente affinché q..., condizione necessaria affinché p...; binario; p ⇒ q ha valore vero se p ha valore falso o se sia p che q hanno valore vero;
• Se e solo se (sse, i), coimplica, condizione necessaria e sufficiente (cnes) p ⇔ q; binario; ha valore vero se p ha lo stesso valore di verità di q.

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6 CAPITOLO 1. LOGICA E INSIEMISTICA

1.1.3 Tabelle di verità

p q ¬p p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q

1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 1

Tabella 1.1: Tavole di verità

1.1.4 Leggi logiche notevoli

?? ??

Tabella a pag.

*

1.2 Insiemistica

Definizione 3 (Insieme).

A = {x₁, x₂, . . . , xₙ} = {x | P(x)}

Definizione 4 (Intersezione) A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Definizione 5 (Unione) A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Definizione 6 (Differenza) A \ B = {x | x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)}

Definizione 7 (Differenza simmetrica) A∆B = A \ B ∪ B \ A

Definizione 8 (Complementare) Detto U l'insieme universo, cA = Ā = {x | x ∈ U \ A} = {x | ¬(x ∈ A)}

Definizione 9 (Insieme (potenza) delle parti) P(A) = 2^A = {E | E ⊆ A}

P(A) = 2^A

Definizione 10 (Coppie ordinate) (x, y) = ⟨x, y⟩ = {{x}, {x, y}}

Definizione 11 (Prodotto cartesiano) A × B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}

A × A × · · · × A = {(x₁, x₂, · · ·, xₙ) | xᵢ ∈ A ∀i = {1, 2, · · ·, n}}

Proposizione 1 (Leggi di de Morgan)

(E ∪ F)^c = E^c ∩ F^c

(E ∩ F)^c = E^c ∪ F^c

1.2. INSIEMISTICA 7

legge dell'identità

A ⇒ A legge della doppia negazione

A ⇔ ¬¬A commutatività di

A ∧ B ⇔ B ∧ A ∧

associatività di

(A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) ∧

commutatività di

A ∨ B ⇔ B ∨ A ∨

associatività di

(A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) ∨

idempotenza di

A ∧ A ⇔ A ∧

idempotenza di

A ∨ A ⇔ A ∨

eliminazione di

A ∧ B ⇔ A ∧

introduzione di

A ⇔ A ∨ B ∨

distributività

A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) distributività

A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) legge di assorbimento

A ∧ (A ∨ B) ⇔ A legge di assorbimento

A ∨ (A ∧ B) ⇔ A legge di de Morgan

¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B legge di de Morgan

¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B legge del terzo escluso

¬A ∨ A ⇔ ⊤ legge di non contraddizione

¬(A ∧ ¬A) ⇔ ⊤ definizione di implicazione

(A ⇒ B) ⇔ (B ⇒ ¬A) legge di contrapposizione (contronominale)

(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) Lewis (ex falso quodlibet)

A ∧ ¬A affermazione del conseguente

A ⇒ (B ⇒ A) negazione dell'antecedente

¬A ⇒ (A ⇒ B) legge di riduzione all'assurdo

((A ⇒ B) ∧ ¬B) ⇒ ¬A riduzione all'assurdo debole

(A ⇒ ¬A) ⇒ ¬A consequentia mirabilis

(¬A ⇒ A) ⇒ A legge di Peirce

((A ⇒ B) ⇒ A) ⇒ A legge di Dummett

((A ⇒ B) ∨ (B ⇒ A)) ⇒ ⊤ modus ponens

A ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ B) scambio antecedenti

(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇔ (B ⇒ (A ⇒ C)) distinzione di casi

((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ C)) ⇔ (A ∨ B ⇒ C) distinzione di casi

((A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ B)) ⇒ B distributività di

(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C)) ⇒

transitività di

((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) ⇒

importazione/esportazione delle premesse

(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇔ ((A ∧ B) ⇒ C)

Tabella 1.2: Leggi logiche notevoli

8 CAPITOLO 1. LOGICA E INSIEMISTICA

Capitolo 2: algebra elementare

2.1 Definizione di R

La struttura è un anello. Si definisce una relazione d'ordine totale ≤. I primi 4 assiomi definiscono [R, +] come gruppo, [R\{0}, ·] come gruppo, inoltre vale l'assioma di continuità in una delle sue 4 forme.

R è quindi definito assiomaticamente da:

• S1 la somma è associativa;
• S2 la somma è commutativa;
• S3 esiste l'elemento neutro della somma (zero, 0);
• S4 ogni elemento (x) di R ha inverso (opposto, −x);
• P1 il prodotto è associativo;
• P2 il prodotto è commutativo;
• P3 esiste l'elemento neutro del prodotto (uno, 1);
• P4 ogni elemento (x) di R \ 0 ha elemento inverso (reciproco, 1/x = x⁻¹);
• SP il prodotto è distributivo rispetto alla somma;
• OS x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z ∀z ∈ R;
• OP x ≤ y ⇒ z · x ≤ z · y ∀z ∈ R, z ≥ 0.

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10 CAPITOLO 2. ALGEBRA ELEMENTARE

Dedekind siano A e B due insiemi separati, cioè tali che ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a ≤ b; allora ∃c ∈ R : a ≤ b ≤ c.

Definizione 12 (Retta reale estesa) Si definisce l'insieme R̄ = R ∪ {±∞} detto estensione dell'insieme dei reali.

2.2 Scomposizioni notevoli

2.2.1 Potenza di un polinomio

(a ± b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ (n k) a^n−kb^k

Casi particolari: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²;

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³;

(a ± b ± c)² = a² ± 2ab + b² ± 2bc + c² ± 2ca.

2.2.2 Fattorizzazione

P(x) = a · ∏_i=0ⁿ(x − x_i) = a · Σ_i=0ⁿx_i

P(x) = a(x − x₁) · (x − x₂) · · · · · (x − xₙ)

∀n ∈ N: xⁿ − yⁿ = (x − y) · (xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²y + · · · + xyⁿ⁻² + yⁿ⁻¹)

∀n = 2k + 1, k ∈ Z: xⁿ + yⁿ = (x + y) · (xⁿ⁻¹ − xⁿ⁻²y + · · · − xyⁿ⁻² + yⁿ⁻¹)

Casi particolari: a² − b² = (a − b)(a + b);

a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²).

2.2.3 Risoluzione di equazioni di secondo grado in una incognita

P(x) = ax² + bx + c: x_1,2 = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a;

con x_1,2 = (−β ± √(β² − ac)) / a 2

2.3 Radicali doppi

√(A ± √B) = √((A + √(A² − B)) / 2) ± √((A − √(A² − B)) / 2)

2.4 Disequazioni irrazionali

√f(x) ≥ g(x) ⇔ { g(x) ≥ 0; f(x) ≥ g²(x) } ∪ { g(x) < 0; f(x) ≥ 0 }

√f(x) < g(x) ⇔ { f(x) ≥ 0; g(x) > 0; f(x) < g²(x) }

2.5 Potenze

2.5.1 Definizione

Definizione 13 (Logaritmo) ∀y ≥ 0, ∀n ∈ N, si definisce la radice n-esima di y come:

ⁿ√y = y^1/n = sup{x ∈ R : xⁿ < y} = inf{x ∈ R : xⁿ > y}

2.5.2 Proprietà

a⁰ = 1

a¹ = a

a^m+n = a^m · aⁿ

a^m−n = a^m / aⁿ

(a^m)ⁿ = a^m·n

a^m = e^{m·log a}

a^1/n = ⁿ√a

a^−m = 1/a^m

2.6 Logaritmi

2.6.1 Definizione

Definizione 14 (Logaritmo) log_c a = b ⇔ a = c^b

2.6.2 Proprietà

log_a 1 = 0

log_a a = 1

log_a(m · n) = log_am + log_an

log_a(m/n) = log_am − log_an

log_am^α = α · log_am con α ∈ R

log_ab = log_cb / log_ca

log_ab = 1 / log_ba

2.7 Modulo o valore assoluto

2.7.1 Definizione

Definizione 15 (Modulo, Valore Assoluto) Si definisce modulo valore assoluto la funzione:

f: R → R⁺ = [0, +∞)

f(x) = |x| = max{x, −x} = √(x²)

2.7.2 Proprietà

M1 ∀a ∈ R, |a| ≥ 0

M2 |a| = 0 ⇔ a = 0

M3, omogeneità ∀λ ∈ R, ∀a ∈ R, |λ · a| = |λ| · |a|

M4, disuguaglianza triangolare ∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a| + |b|

M4

La disuguaglianza in generale assume la forma:

Σ_i=1ⁿ|a_i| ≤ |Σ_i=1ⁿa_i|

2.8 Altre funzioni

2.8.1 Fattoriale, semifattoriale

Definizione 16 (Fattoriale) ∀n ∈ N, n! = fatt(n) = ∏_i=1ⁿi = 1 · 2 · · · · · (n − 1) · n.

È definito ricorsivamente da:

0! = 1

n! = n · (n − 1)!

Definizione 17 (Semifattoriale) ∀k ∈ N, (2k + 1)!! = ∏_i=0^k(2i + 1)

(2k)!! = ∏_i=1^k2i

1 se k = 0

k se k > 0

Si definisce inoltre (−1)!! = 1.

2.8.2 Segno

Definizione 18 (Segno) signum (x) = sign (x) = sgn (x) =

∀x ∈ R \ {0}, sign(x) = x / |x| = { 1 se x > 0; −1 se x < 0 }

2.8.3 Parte intera, parte decimale

def

Definizione 19 (Parte intera) ⌊x⌋ = max{k ∈ Z : k ≤ x}

def

Definizione 20 (Parte decimale) {x} = x − ⌊x⌋

2.8.4 Parte positiva, parte negativa

Definizione 21 (Parte positiva, f⁺)

f⁺ = max{f, 0}

Definizione 22 (Parte negativa, f⁻)

f⁻ = min{f, 0}

Osservazione 1

|f| = f⁺ − f⁻

f = f⁺ + f⁻

Osservazione 2 a, b ∈ R : a < b,

b⁺ − a⁺ ≤ b − a;

b⁻ − a⁻ ≤ b − a

2.8.5 Funzione di Dirichlet

Definizione 23 (Funzione di Dirichlet) f(x) = { 1 se x ∈ Q; 0 se x ∈ R \ Q }

2.8.6 Funzioni iperboliche

Definizione 24 (Seno iperbolico) sinh: R → R

sinh x = sh x = (e^x − e^−x) / 2

Definizione 25 (Coseno iperbolico) cosh: R → [1, +∞)

cosh x = ch x = (e^x + e^−x) / 2

Osservazione 3

cosh²x − sinh²x = 1.

Definizione 26 (Tangente iperbolica) tanh: R → R

tanh x = th x = sinh x / cosh x

Definizione 27 (Cotangente iperbolica) coth: R \ {0} → R

coth x = cth x = cosh x / sinh x

Definizione 28 (Arcoseno iperbolico, settore seno iperbolico) asinh: R → R

y = asinh x = sinh⁻¹x = log(y + √(y² + 1))

Definizione 29 (Arcocoseno iperbolico, settore coseno iperbolico)

acosh: R → R

y = acosh x = cosh⁻¹x = log(y + √(y² − 1))

Definizione 30 (Arcotangente iperbolica, settore tangente iperbolica)

atanh: R → R

x = atanh y = 1/2 · log((1 + x)/(1 − x))

2.8.7 Funzione esponenziale, exp

e^x = exp(x)

Teorema 1 (Esistenza ed unicità della funzione esponenziale) ∃! la funzione f: R → R che verifichi le proprietà:

1. ∀x₁, x₂ ∈ R, f(x₁ + x₂) = f(x₁) · f(x₂);

2. f(1) = e (dove e è il numero di Nepero);

ed è definita da f(x) = e^x = exp(x).

Definizione 31 Si definisce f(x) = a^x = e^{x log a}.

2.9 Serie

2.9.1 Serie aritmetiche

a_n = a₁ + (n − 1)d

S_n = Σ_i=1ⁿa_i = n(a₁ + a_n)/2 = n(2a₁ + (n − 1)d)/2

2.9.2 Serie geometriche

a_n = a₁ · qⁿ⁻¹

S_n = Σ_i=1ⁿa_i = a₁ · (1 − qⁿ)/(1 − q), con q ≠ 1

Se si ha q = 1, S_n = Σ_i=1ⁿa_i = n · a₁

S_k,n = Σ_i=kⁿa_i = q^k−1 · (1 − q^n−k+1)/(1 − q), con q ≠ 1

2.9.3 Disuguaglianze notevoli

∀x ∈ [−π/2, π/2], |sin x| ≤ |x|

disuguaglianza di Bernoulli

∀n ∈ N, ∀a ≥ −1, (1 + a)ⁿ ≥ 1 + a · n

∀x ∈ R, e^x ≥ x + 1

∀x > −1, log(x + 1) ≤ x

disuguaglianza di Young

∀a, b > 0, p, q > 1 : 1/p + 1/q = 1, a · b ≤ (1/p) · a^p + (1/q) · b^q

2.9.4 Sommatorie classiche

Σ_i=1ⁿi = n(n + 1)/2

Σ_i=1ⁿi² = n(n + 1)(2n + 1)/6

Σ_i=1ⁿi³ = (n(n + 1)/2)²

Σ_i=0ⁿ(n i) = (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ

Σ_i=0ⁿ(−1)ⁱ(n i) = 0

16 CAPITOLO 2. ALGEBRA ELEMENTARE

Capitolo 3: geometria

3.1 Goniometria

3.1.1 Relazione fondamentale

sin²x + cos²x = 1

3.1.2 Tangente e cotangente: definizioni

Definizione 32 (Tangente) tan x = sin x / cos x, ∀x ≠ π/2 + kπ

Definizione 33 (Cotangente 1) cot x = cos x / sin x, ∀x ≠ kπ

Definizione 34 (Cotangente 2) cot x = 1 / tan x, ∀x ≠ kπ/2

3.1.3 Secante e cosecante: definizioni

Definizione 35 (Secante) sec α = 1 / cos α

sec: R \ {π/2 + kπ, k ∈ Z} → R

Definizione 36 (Cosecante) csc α = 1 / sin α

csc: R \ {kπ, k ∈ Z} → R

3.1.4 Formule di addizione

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

tan(α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α tan β)

cot(α ± β) = (cot α cot β ∓ 1)/(cot α ± cot β)

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18 CAPITOLO 3. GEOMETRIA

3.1.5 Formule di duplicazione e di triplicazione

sin(2α) = 2 sin α cos α

cos(2α) = cos²α − sin²α = 1 − 2 sin²α = 2 cos²α − 1

tan(2α) = 2 tan α / (1 − tan²α)

sin(3α) = 3 sin α − 4 sin³α

cos(3α) = 4 cos³α − 3 cos α

tan(3α) = (3 tan α − tan³α)/(1 − 3 tan²α)

3.1.6 Formule di bisezione

sin(α/2) = ±√((1 − cos α)/2)

cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2)

tan(α/2) = ±√((1 − cos α)/(1 + cos α)) = sin α/(1 + cos α) = (1 − cos α)/sin α

3.1.7 Formule parametriche

t = tan(α/2) ⇒ sin α = 2t/(1 + t²)

cos α = (1 − t²)/(1 + t²)

tan α = 2t/(1 − t²)

3.1.8 Formule di prostaferesi

sin p + sin q = 2 sin((p + q)/2) cos((p − q)/2)

sin p − sin q = 2 cos((p + q)/2) sin((p − q)/2)

cos p + cos q = 2 cos((p + q)/2) cos((p − q)/2)

cos p − cos q = −2 sin((p + q)/2) sin((p − q)/2)

3.1.9 Formule di Werner