Formulario completo per la maturità

La prova di matematica per il liceo – Il formulario

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1. Equazioni e disequazioni

Equazioni esponenziali

Dato a ∈ R⁺ − {1}, un'equazione esponenziale elementare si scrive come a^x = b.

1° caso: se b ≤ 0 l'equazione non ha soluzione.

2° caso: se b > 0 e a ≠ 1 l'equazione ha una ed una sola soluzione, che vale x = log_a(b).

3° caso: se b > 0, a = 1 e b ≠ 1, l'equazione non ha soluzione.

4° caso: se b = 1 e a = 1 l'equazione è soddisfatta per ogni x ∈ R.

Nel caso particolare in cui l'equazione sia della forma a^f(x) = a^g(x), dato che le basi sono uguali basta risolvere l'equazione f(x) = g(x).

Equazioni logaritmiche

Dati a ∈ R⁺ − {1}, b ∈ R e x > 0, un'equazione logaritmica elementare è della forma log_a(x) = b ed ha una ed una sola soluzione che, per definizione di logaritmo, vale x = a^b.

Se un'equazione logaritmica si presenta nella forma log_a[f(x)] = log_a[g(x)], dove i logaritmi hanno la stessa base, per determinare la soluzione è sufficiente risolvere il sistema:

• f(x) > 0;
• g(x) > 0;
• f(x) = g(x).

Proprietà dei logaritmi

Notazioni: un logaritmo naturale, cioè in base e (numero di Nepero) lo si indica con ln(·), mentre un logaritmo in base 10 con Log(·).

log_a1 = 0; log_aa = 1; log_ab = c ⇔ a^c = b.

Somma, prodotto e quoziente di logaritmi

log_ab₁ + log_ab₂ = log_a(|b₁ · b₂|).

log_ab₁ − log_ab₂ = log_a(|b₁ : b₂|).

log_a(bⁿ) = n log_a(|b|).

log_a(ⁿ√b) = 1/n log_a(|b|).

log_ab₁ / log_ab₂ = log_b2b₁.

Cambiamento di base

log_ab = log_cb / log_ca.

log_ab · log_bc = log_ac.

log_ab · log_ba = 1.

Segno del logaritmo

log_ax > 0 ⇔ x > 1 se a > 1.

log_ax < 0 ⇔ 0 < x < 1 se a > 1.

log_ax > 0 ⇔ 0 < x < 1 se 0 < a < 1.

log_ax < 0 ⇔ x > 1 se 0 < a < 1.

Equazioni irrazionali

Dato n ∈ N − {0}, un'equazione irrazionale si scrive come ⁿ√f(x) = ⁿ√g(x).

1° caso: se n è dispari, allora l'insieme di definizione coincide con l'insieme in cui sono ben definite f(x) e g(x) ∈ R.

2° caso: se n è pari, allora l'insieme di definizione coincide con l'insieme delle x ∈ R tali per cui f(x) ≥ 0 e g(x) ≥ 0 risultano ben definite e inoltre ⁿ√f(x) = ⁿ√g(x).

Determinato D, si elevano ambo i membri alla potenza n-esima, ottenendo f(x) = g(x).

L'insieme soluzione dell'equazione è l'insieme delle x appartenenti a D tali che f(x) = g(x).

Disequazioni esponenziali

Dati a ∈ R⁺ − {1} e b ∈ R, una disequazione esponenziale in forma elementare si può esprimere come a^x ≥ b oppure a^x ≤ b.

Caso a^x ≥ b

Se b ≤ 0 la disequazione è sempre soddisfatta.

Se b > 0 ∧ a > 1 la disequazione è soddisfatta per x ≥ log_ab.

Se b > 0 ∧ 0 < a < 1 la disequazione è soddisfatta per x ≤ log_ab.

Caso a^x ≤ b

Se b ≤ 0 la disequazione è sempre soddisfatta.

Se b > 0 ∧ a > 1 la disequazione è soddisfatta per x ≤ log_ab.

Se b > 0 ∧ 0 < a < 1 la disequazione è soddisfatta per x ≥ log_ab.

Disequazioni logaritmiche

Dati a ∈ R⁺ − {1}, b ∈ R e x > 0, una disequazione esponenziale in forma elementare si può esprimere come log_a(x) ≥ b o log_a(x) ≤ b.

Caso log_a(x) ≥ b

Se a > 1 la disequazione è soddisfatta per x ≥ a^b.

Se 0 < a < 1 la disequazione è soddisfatta per 0 < x ≤ a^b.

Caso log_a(x) ≤ b

Se a > 1 la disequazione è soddisfatta per 0 < x ≤ a^b.

Se 0 < a < 1 la disequazione è soddisfatta per x ≥ a^b.

Disequazioni irrazionali

Dato n ∈ N − {0}, una disequazione irrazionale si può scrivere in una di queste quattro forme:

• ⁿ√f(x) ≥ g(x);
• ⁿ√f(x) > g(x);
• ⁿ√f(x) ≤ g(x);
• ⁿ√f(x) < g(x).

Caso n dispari

Le disequazioni saranno soddisfatte da:

ⁿ√f(x) ≥ g(x) ⇔ f(x) ≥ gⁿ(x).

ⁿ√f(x) > g(x) ⇔ f(x) > gⁿ(x).

ⁿ√f(x) ≤ g(x) ⇔ f(x) ≤ gⁿ(x).

ⁿ√f(x) < g(x) ⇔ f(x) < gⁿ(x), con le restrizioni dovute agli insiemi di definizione delle funzioni f(x), g(x).

Caso n pari

Le disequazioni saranno soddisfatte da:

ⁿ√f(x) ≥ g(x) ⇔ { f(x) ≥ 0 ∧ g(x) ≥ 0 ∧ f(x) ≥ gⁿ(x) } ∨ { g(x) < 0 }.

ⁿ√f(x) > g(x) ⇔ { f(x) ≥ 0 ∧ g(x) ≥ 0 ∧ f(x) > gⁿ(x) } ∨ { g(x) < 0 }.

ⁿ√f(x) ≤ g(x) ⇔ f(x) ≥ 0 ∧ g(x) ≥ 0 ∧ f(x) ≤ gⁿ(x).

ⁿ√f(x) < g(x) ⇔ f(x) ≥ 0 ∧ g(x) ≥ 0 ∧ f(x) < gⁿ(x).

Anche in questo caso vanno considerate le restrizioni dovute agli insiemi di definizione delle funzioni f(x), g(x).

2. Geometria analitica nel piano

Retta

Equazione in forma implicita: ax + by + c = 0.

Equazione in forma esplicita: y = mx + q.

Relazione tra i coefficienti m, q e a, b, c: m = −a/b, q = −c/b, b ≠ 0.

m si dice coefficiente angolare o pendenza, q si dice intercetta o quota.

Retta parallela all'asse y: x = h.

Retta parallela all'asse x: y = k.

Retta passante per due punti A = (x₁, y₁) e B = (x₂, y₂): (x − x₁)/(x₂ − x₁) = (y − y₁)/(y₂ − y₁).

Coefficiente angolare di una retta passante per due punti se x₁ ≠ x₂: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

Condizione di parallelismo: tra le rette ax + by + c = 0 e a′x + b′y + c′ = 0, a·b′ − a′·b = 0; tra le rette y = mx + q e y = m′x + q′, m = m′.

Condizione di perpendicolarità: forma implicita aa′ + bb′ = 0; forma esplicita mm′ = −1.

Fascio improprio di rette: se la retta data è ax + by + c = 0 il fascio è ax + by + k = 0.

Se la retta data è y = mx + q il fascio è y = mx + k.

Fascio proprio di rette

Se ax + by + c = 0 e a′x + b′y + c′ = 0 si intersecano in P(x₀, y₀), l'equazione del fascio proprio è h(ax + by + c) + k(a′x + b′y + c′) = 0.

Posto λ = h/k si ha (ax + by + c) + λ(a′x + b′y + c′) = 0.

Al variare di λ ∈ R si hanno tutte le rette del piano passanti per P, ad eccezione di ax + by + c = 0.

Distanza punto-retta: dato P(x₀, y₀) e la retta ax + by + c = 0, la distanza è d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).

Circonferenza

Equazione della circonferenza di centro (α, β) e raggio R: (x − α)² + (y − β)² = R².

L'equazione x² + y² + ax + by + c = 0, se a² + b² − 4c > 0, rappresenta la circonferenza di centro (−a/2, −b/2) e raggio R = √(a² + b² − 4c)/2.

Circonferenze con centro nell'origine: x² + y² = R².

Circonferenze passanti per l'origine: x² + y² + ax + by = 0.

Fasci di circonferenze: circonferenze concentriche di centro (α, β): (x − α)² + (y − β)² = k.

Date le circonferenze x² + y² + ax + by + c = 0 e x² + y² + a₁x + b₁y + c₁ = 0, l'equazione del fascio è:

λ(x² + y² + ax + by + c) + μ(x² + y² + a₁x + b₁y + c₁) = 0, con λ, μ non entrambi nulli.

Posto t = μ/λ, si ha x² + y² + ax + by + c + t(x² + y² + a₁x + b₁y + c₁) = 0, t ≠ −1, che rappresenta una circonferenza tranne per t = −1, caso in cui la circonferenza degenera in una retta.

Se a ≠ a₁ ∨ b ≠ b₁; se le due circonferenze sono concentriche l'equazione del fascio degenera in un numero (polinomio di grado zero in x e y).

Asse radicale di una circonferenza

È la retta che si ottiene imponendo t = −1 nel fascio di circonferenze di equazione x² + y² + ax + by + c + t(x² + y² + a₁x + b₁y + c₁) = 0, nel caso in cui a ≠ a₁ ∨ b ≠ b₁, ed è perpendicolare alla retta che congiunge i centri delle circonferenze stesse: (a − a₁)x + (b − b₁)y + c − c₁ = 0.

Se le due circonferenze si intersecano in A e B, punti base del fascio, l'asse radicale è la retta AB.

Se le due circonferenze sono tangenti l'asse radicale è la retta passante per T e ivi tangente ad ogni circonferenza del fascio.

Circonferenza passante per tre punti

Circonferenza passante per tre punti (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃):

det [[x²₁ + y²₁, x₁, y₁, 1], [x²₂ + y²₂, x₂, y₂, 1], [x²₃ + y²₃, x₃, y₃, 1]] = 0.

Parabola

La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.

Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y

Equazione y = ax² + bx + c con a ≠ 0 e a, b, c ∈ R.

Fuoco F = (−b/(2a), (1 − b² + 4ac)/(4a)).

Direttrice y = −(1 + b² − 4ac)/(4a).

Asse di simmetria x = −b/(2a), vertice V = (−b/(2a), (4ac − b²)/(4a)).

Concavità: se a > 0 la parabola ha concavità verso l'alto, si dice convessa, ha minimo nel vertice; se a < 0 la parabola ha concavità verso il basso, si dice concava, ha massimo nel vertice.

Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x

Equazione x = ay² + by + c con a ≠ 0 e a, b, c ∈ R.

Fuoco F = ((1 − b² + 4ac)/(4a), −b/(2a)), direttrice x = −(1 + b² − 4ac)/(4a).

Asse di simmetria y = −b/(2a), vertice V = ((4ac − b²)/(4a), −b/(2a)).

Concavità: se a > 0 concavità verso destra, se a < 0 concavità verso sinistra.

Ellisse

Un'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione canonica: x²/a² + y²/b² = 1, dove a, b > 0.

Se a > b l'asse focale è parallelo all'asse x, se a < b l'asse focale è parallelo all'asse y.

Se a = b si ottiene l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine e raggio a.

Equazione dell'ellisse traslata rispetto al punto (x₀, y₀): (x − x₀)²/a² + (y − y₀)²/b² = 1.

Equazione parametrica: x = a cos(t) + x₀, y = b sin(t) + y₀, t ∈ [0, 2π).

Data un'ellisse di equazione x²/a² + y²/b² = 1, le coordinate dei vertici sono:

• Vertici: A₁ = (a, 0), A₂ = (−a, 0), B₁ = (0, b), B₂ = (0, −b).
• Asintoti: y = ±(b/a)x.

Asse focale: se a > b l'asse focale è A₁A₂, l'asse minore è B₁B₂; se a < b l'asse focale è B₁B₂, l'asse minore è A₁A₂.

Se a > b la lunghezza dell'asse focale è 2a; se a < b la lunghezza dell'asse focale è 2b.

Fuochi

Posto c = |a² − b²|, le coordinate dei fuochi sono:

se a > b, F₁ = (c, 0), F₂ = (−c, 0);

se a < b, F₁ = (0, c), F₂ = (0, −c).

Eccentricità

Data un'ellisse di equazione x²/a² + y²/b² = 1, e posto c = |a² − b²|:

se a > b l'eccentricità vale e = c/a;

se a < b l'eccentricità vale e = c/b.

Se a ≠ b, con a, b > 0, risulta 0 < e < 1. Se a = b, ossia per la circonferenza, risulta e = 0.

Iperbole

L'iperbole è il luogo dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Iperbole con i fuochi sull'asse x e simmetrici rispetto all'origine: x²/a² − y²/b² = 1, a, b ∈ R.

Iperbole con i fuochi sull'asse y e simmetrici rispetto all'origine: y²/a² − x²/b² = 1.

Equazione parametrica:

x = a cosh(t), y = b sinh(t), oppure x = a/sin(t), y = b/cos(t), t ∈ [0, 2π) \ {π/2, 3π/2}.

Vertici:

se x²/a² − y²/b² = 1 i vertici sono A₁ = (a, 0), A₂ = (−a, 0);

se y²/a² − x²/b² = 1 i vertici sono B₁ = (0, b), B₂ = (0, −b).

Asintoti: y = ±(b/a)x.

Fuochi: posto c = √(a² + b²), se appartenenti all'asse x hanno coordinate F₁ = (c, 0), F₂ = (−c, 0); se appartenenti all'asse y hanno coordinate F₁ = (0, c), F₂ = (0, −c).

Eccentricità

Se i fuochi appartengono all'asse x l'eccentricità vale e = c/a.

Se i fuochi appartengono all'asse y l'eccentricità vale e = c/b.

Iperbole equilatera

Se a = b e i fuochi appartengono all'asse x l'iperbole equilatera è x² − y² = a².

Se a = b e i fuochi appartengono all'asse y l'iperbole equilatera è y² − x² = a².

Gli asintoti di un'iperbole equilatera sono y = x e y = −x e l'eccentricità è e = √2.

Iperbole equilatera riferita agli assi

Un'iperbole equilatera ruotata di 45° ha per asintoti gli assi cartesiani, l'equazione è xy = k.

Funzione omografica

Una funzione omografica è un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani, ma non necessariamente coincidenti con gli assi stessi.

Dati a, b, c, d ∈ R, con c ≠ 0, l'equazione di una funzione omografica è y = (ax + b)/(cx + d).

Se ad − bc = 0 l'equazione è una retta parallela all'asse x privata del punto di ascissa x = −d/c.

Se ad − bc ≠ 0 l'equazione rappresenta un'iperbole equilatera con centro di simmetria (−d/c, a/c) e asintoti x = −d/c e y = a/c.

Altri luoghi e proprietà

Punto medio di un segmento AB: se A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂) il punto medio è M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).

Distanza fra due punti (lunghezza di un segmento)

Se A = (x₁, y₁) e B = (x₂, y₂) la lunghezza di AB è d = √((x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²).

Asse di un segmento AB

Se A = (x₁, y₁) e B = (x₂, y₂) l'asse è 2(x₁ − x₂)x + 2(y₁ − y₂)y + (x₂² − x₁²) + (y₂² − y₁²) = 0.