Iperbole

L’iperbole

Definizione

Definizione: l’Iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.

Dimostrazione

|PF₁ − PF₂| = 2a

PF₁ − PF₂ = 2a se PF₁ > PF₂; PF₂ − PF₁ = 2a se PF₂ > PF₁.

PF₁ = √((x − c)² + (y − 0)²)

PF₂ = √((x + c)² + (y − 0)²)

Quindi:

Sostituiamo nella equazione iniziale:

√(x − c)² + y² − √(x + c)² + y² = 2a

Sviluppiamo i quadrati sotto radice:

√x² − 2cx + c² + y² = 2a + √x² + 2cx + c² + y²

Eleviamo tutto alla seconda:

x² − 2cx + c² + y² = 4a² + x² + 2cx + c² + y² + 4a√x² + 2cx + c² + y²

Semplifichiamo i termini uguali:

−4cx = 4a² + 4a√x² + 2cx + y²

Dividiamo per −4:

cx + a² = −a√x² + 2cx + y²

Eleviamo tutto alla seconda:

a² + c²x² + 2a²cx = a²x² + a²c² + 2a²cx + a²y²

Semplifichiamo e raccogliamo:

−a²c² − a²y² = a²x² − a²c²

Essendo c² − a² > 0, lo possiamo sostituire con b² per semplificare, quindi

c² − a² = b²

Sostituiamo e poi dividiamo per:

b²x² − a²y² = a²b²

x²/a² − y²/b² = 1 ← EQUAZIONE DELL’IPERBOLE

Simmetrie dell’iperbole

L’iperbole è una curva simmetrica rispetto all’asse delle x, rispetto all’asse delle y e all’origine, O(0; 0). Infatti:

Simmetria asse x:

x²/a² − y²/b² = 1, x²/a² − (−y)²/b² = 1

y → −y

Simmetria asse y:

x²/a² − y²/b² = 1, (−x)²/a² − y²/b² = 1

x → −x

Simmetria O(0; 0):

x²/a² − y²/b² = 1, (−x)²/a² − (−y)²/b² = 1

x → −x

y → −y

Condizioni per il disegno

Per disegnare un’ellissi servono due condizioni, perché ci sono 2 costanti.

x²/a² − y²/b² = 1

⇒ x²/a² = 1 + y²/b² ⇒ x² = a² + a²y²/b²

Poniamo:

x ≥ 0

a² + (a²/b²)y² è di sicuro ≥ 0

b²

Quindi la x esiste per ogni y.

Seguiamo lo stesso procedimento per la y: