2019 Simulazione tema d'esame di matematica e fisica (Indirizzi scientifico, scientifico opzione scienze applicate, scientifico sezione a indirizzo sportivo)

Esame di stato di istruzione secondaria superiore

–

Indirizzi: LI02, EA02 scientifico

LI03 - Scientifico - opzione scienze applicate

LI15 - Scientifico - sezione ad indirizzo sportivo

(Testo valevole anche per le corrispondenti sperimentazioni internazionali e quadriennali)

Tema di: matematica e fisica

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti.

Problema 1

l’uno dall’altro e

Due fili rettilinei paralleli vincolati a rimanere nella loro posizione, distanti 1 m

di lunghezza indefinita, sono percorsi da correnti costanti di pari intensità ma verso opposto; si

l’intensità di corrente, espressa in ampere (A). Si consideri un piano perpendicolare

indichi con i

ai due fili sul quale è fissato un sistema di riferimento ortogonale Oxy, dove le lunghezze sono

espresse in metri (m), in modo che i due fili passino uno per l’origine e l’altro per il punto

O

(1, 0), come mostrato in figura.

Verso della corrente uscente dalla pagina Verso della corrente entrante nella pagina

⃗

Verificare che l’intensità del campo magnetico , (, 0),

1. espresso in tesla (T), in un punto

1 1

0 < < 1, () = ( + ),

con è data dalla funzione dove è una costante positiva

1−

della quale si richiede l’unità di misura. Stabilire quali sono la direzione e il verso del vettore

⃗ ⃗

nell’intervallo l’intensità di

(0,

1).

al variare di Per quale valore di è minima?

⃗

2. Nella zona di spazio sede del campo , una carica puntiforme q transita, ad un certo istante,

1

(, 0), =

per il punto con velocità di modulo nella direzione della retta di equazione

0

2

1.

Descriverne il moto in presenza del solo campo magnetico generato dalle due correnti,

2

giustificando le conclusioni. ⃗ nei punti dell’asse

Stabilire intensità, direzione e verso del campo magnetico esterni al

⃗

Esistono punti sull’asse

segmento dove il campo magnetico è nullo?

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1 1

() = ( + )

3. Indipendentemente da ogni riferimento alla fisica, studiare la funzione 1−

dimostrando, in particolare, che il grafico di tale funzione non possiede punti di flesso.

1

Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di nel suo punto di ascissa e

3

le coordinate dell’ulteriore punto d’intersezione tra .

determinare e il grafico di

Calcolare il valore dell’integrale

4. 3/4

∫ ()

1/4 l’integrale

≥ 2,

ed interpretare geometricamente il risultato ottenuto. Esprimere, per

() = ∫ |()|

2

lim ().

e calcolare Qual è il significato di tale limite?

→+∞

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Svolgimento

Punto 1

Per la legge di Biot-Savart il campo magnetico generato da un filo infinito percorso da corrente in un punto a distanza d è pari a:

0

= 2

dove:

• I è la corrente che attraversa il filo;
• è la permeabilità magnetica

0 (1 − )

Nel caso in esame i fili sono a distanza rispettivamente x e pertanto il campo magnetico è pari a:

1 1

0

() = ( + )

2 1 −

0

=

Posto si ricava

2 1 1

() = ( + )

1−

dove le dimensioni di K sono

⏞ ⏞

[] [] []

= ∙

il verso del campo magnetico è parallelo all’asse delle ordinate.

0 < < 1

Per 4

Inoltre, come sarà dimostrato nel Punto 3, il campo magnetico assume valore minimo pari a per

1

=.

2

Punto 2

Sulla carica q agisce una forza di Lorentz pari a: ⃗

=

⃗⃗⃗⃗ ×

0 1 ovvero parallelamente all’asse delle

=

Se la particella si muove nella direzione della retta 2

ordinate, allora la forza di Lorentz agente sulla carica è nulla in quanto la velocità ed il campo magnetico hanno medesima direzione pertanto il prodotto vettoriale è nullo.

Quindi la particella q si muove di moto rettilineo uniforme.

< 0 > 1

Se o il verso del campo magnetico sarà nella direzione delle asse delle ordinate negative ed il modulo sarà pari alla differenza tra i moduli dei singoli contributi. Si veda il Punto 3 in cui viene rappresentato il grafico di ().

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1 1 1

() = ( + ) = [ ]

Dalla formula analitica di deduciamo che il campo magnetico non si annulla mai.

Punto 3

1 1 1

() = ( + ) = > 0.

Studiamo la funzione considerando

• {0,1};

−

Dominio:

• Non esistono intersezioni con l’asse delle ascisse;

Intersezione asse ascisse:

• Non esistono intersezioni con l’asse delle ordinate;

Intersezione asse ordinate:;

• Simmetrie: la funzione non è nè pari nè dispari;

1

• () = > 0 → 0 < < 1;

Positività: (1−)

• Asintoti verticali: si ha 1 1

lim = +∞, lim = −∞

(1 − ) (1 − )

−

+ →0

→0 1 1

lim = −∞, lim = +∞

(1 − ) (1 − )

−

+ →1

→1

= 0, = 1

pertanto le rette sono asintoti verticali destri e sinistri;

• Asintoti orizzontali: si ha 1

lim =0

(1 − )

→±∞

= 0

di conseguenza è asintoto orizzontale destro e sinistro.

• Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è razionale fratta e la presenza dell’asintoto orizzontale esclude la presenza dell’asintoto obliquo;

• Crescenza e decrescenza: la derivata prima è 2 − 1

′ ()

= 2 2

(1 − )

1 1 1

(1, (−∞,

∈ (, 1) ∪ +∞) ∈ 0) ∪ (0, ) =

ed è positiva per e negativa per pertanto è

2 2 2

1

() = 4;

ascissa di minimo relativo ed il valore di tale minimo è 2

• Concavità e convessità: la derivata seconda è pari a:

2

3 − 3 + 1

′′ ()

= −2 ∙ 3 3

(1 − )

2

(3 − 3 + 1)

e non si annulla mai in quanto il numeratore è sempre positivo, pertanto la funzione non ha flessi.

Inoltre la derivata seconda è positiva se

3 3

(1 − ) < 0 → 0 < < 1

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volge concavità verso l’alto in (0,1) (−∞, (1,

0) ∪ +∞).

pertanto la funzione e verso il basso in

1

() = > 0.

Di seguito il grafico di per

(1−) <

Poichè il testi ci chiede di non tener conto delle limitazioni fisiche, consideriamo anche il caso

1

0. () = < 0 > 0

Di seguito il grafico di per ottenuto da quello per ribaltando il grafico rispetto all’asse delle ascisse.

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1 9

(, )

La retta tangente in è pari a:

3 2

1 1 9 2 − 1 1 9

′

= () ∙ ( − ) + = [ ] ∙ ( − ) + =

2 2

(1 − ) 3 2

=1

3

27 1 9 27 (1

=− ∙ ( − ) + = − )

4 3 2 4

L’ulteriore punto di intersezione tra la retta tangente ed il grafico di () si ricava risolvendo la seguente equazione: