2006 - Liceo scientifico sessione suppletiva America Latina

Soluzione di De Rosa Nicola

1)

Si consideri la figura sottostante:

Per ipotesi CH = 1, da cui:

CH / AC = 1 / sin(x)

CH / CB = 1 / cos(x)

AB² = AC² + CB² = 1 / sin²(x) + 1 / cos²(x) = (cos²(x) + sin²(x)) / (sin²(x) cos²(x)) = 1 / (sin²(x) cos²(x))

AB = 1 / (sin(x) cos(x))

Il valore assoluto è superfluo dal momento che 0 < x < π/2 ed in tale intervallo sin(x) > 0, cos(x) > 0 → sin(x) cos(x) > 0.

In questa situazione il perimetro del triangolo è:

p = 1 / sin(x) + 1 / cos(x) + 1 / (sin(x) cos(x))

p = (cos(x) + sin(x) + 1) / (sin(x) cos(x))

Inoltre ponendo t = tan(x/2) e ricordando che:

sin(x) = 2 tan(x/2) / (1 + tan²(x/2)) = 2t / (1 + t²)

cos(x) = (1 − tan²(x/2)) / (1 + tan²(x/2)) = (1 − t²) / (1 + t²)

Il perimetro può essere riscritto:

p = (1 + sin(x) + cos(x)) / (sin(x) cos(x))

p = [1 + 2t / (1 + t²) + (1 − t²) / (1 + t²)] / [2t / (1 + t²) · (1 − t²) / (1 + t²)]

p = [2(1 + t) / (1 + t²)] / [2t(1 − t²) / (1 + t²)²]

p = (1 + t)(1 + t²) / [t(1 − t²)]

p = (1 + t²) / [t(1 − t)]

Ora, vista la crescenza della funzione tangente nell’intervallo (0, π/4), si ha:

0 < x < π/2 → 0 < x/2 < π/4 → tan(0) < tan(x/2) < tan(π/4) → 0 < t < 1.

2)

p(t) = (1 + t²) / [t(1 − t)]

Studiamo ora la funzione senza considerare i limiti geometrici, che considereremo a valle dello studio suddetto.

Dominio: t ≠ 0, t ≠ 1 ⇔ t ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞)

Intersezioni con gli assi: non ci sono intersezioni con nessuno dei due assi.

Parità e disparità: non è una funzione né pari, né dispari.

Positività: p(t) = (1 + t²) / [t(1 − t)] > 0 ⇔ t(1 − t) > 0 ⇔ 0 < t < 1.

Asintoti verticali:

lim_t→0⁻ (1 + t²) / [t(1 − t)] = −∞, lim_t→0⁺ (1 + t²) / [t(1 − t)] = +∞

lim_t→1⁻ (1 + t²) / [t(1 − t)] = +∞, lim_t→1⁺ (1 + t²) / [t(1 − t)] = −∞

Per cui t = 0, t = 1 sono due asintoti verticali.

Asintoti orizzontali: lim_t→±∞ p(t) = lim_t→±∞ (1 + t²) / [t(1 − t)] = −1, cioè p(t) = −1 è un asintoto orizzontale.

Asintoti obliqui: poiché è una funzione razionale fratta, la presenza degli asintoti orizzontali esclude la presenza di quelli obliqui. Infatti lim_t→±∞ p(t) / t = lim_t→±∞ (1 + t²) / [t²(1 − t)] = 0.

Crescenza e decrescenza: le derivate, prima e seconda, applicando il teorema di derivazione delle funzioni fratte, risultano pari a:

I

p′(t) = (t² − 2t − 1) / (t − t²)² > 0 → t² − 2t − 1 > 0 → t < 1 − √2 ∪ t > 1 + √2.

II

p″(t) = [−2(t² − t + 1)(t − 1)] / [t³(t − 1)³]

II

p″(1/2) < 0.