2010 - Liceo scientifico Americhe, sessione ordinaria

Nicola De Rosa, Liceo scientifico Americhe sessione ordinaria 2010, matematicamente.it

PROBLEMA 1

Nel piano riferito a coordinate cartesiano Oxy:



2

  x 1 



1. si studi la funzione e se ne tracci il grafico .

f x x 3

Si determini l’ampiezza degli angoli individuati dai due asintoti

2.

3. Si verifichi che il parallelogramma, avente due lati consecutivi sugli



asintoti e un vertice su , ha area costante, mentre il suo perimetro

ammette un valore minimo ma non un valore massimo.

 

4. Tra le infinite primitive di si determini quella che passa per il

f x

 

1

,

0

punto di coordinate RISOLUZIONE

Punto 1 

2

x 1



y

Studiamo la funzione x 3

   

      

x 0 x ,

0 0

,

Dominio: ;    

2

x 1 0 x R

Intersezione asse ascisse: non ve ne sono in quanto



Intersezione asse ordinate: nessuna non appartiene al dominio;

x 0

Simmetrie: la funzione è dispari in quanto

 

  

2 2

   

x 1 x 1

     

f x f x ;

 

 x 3 x 3

Positività: + +

   

2

N : x 1 0 x R - +

  

D : x 3 0 x 0



2

x 1

    x

y 0 x 0 - 0 +

x 3 1

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 

2 2

x 1 x 1

    

Asintoti verticali: per cui è

lim , lim x 0

 

 

x 3 x 3

x 0 x 0

asintoto verticale; 

2

x 1  

Asintoti orizzontali: per cui non esistono asintoti

lim

 

x x 3

orizzontali;

Asintoti obliqui: trattandosi di funzione razionale fratta con grado del

dell’asintoto

numeratore pari al grado del denominatore più 1, l’assenza

orizzontale implica la presenza di quello obliquo; esso ha equazione

  con

y mx q   

2

f x x 1 1

  

m lim lim ,

   

x

x x x 3 3

   



2

 

  x 1 x 1

 

       

q lim f x mx lim lim 0

 

   

     

 

x x x

x 3 3 x 3

x



quindi l’asintoto obliquo ha equazione ;

y 3

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è

 

      

2 2

2 x x 3 x 1 3 x 1

  il cui quadro dei segni è

y ' 2 2

3 x x 3

rappresentato a lato;

      

2

N : x 1 0 x 1 x 1

 

     + - +

2

D : x 3 0 x R 0 + + +

 +

2

x 1      

0 x 1 x 1 +

2

x 3 

 0 x

1 1

+

+ +

massimo minimo

2

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   

    

Quindi la funzione è strettamente crescente in e

, 1 1

,

   

 

strettamente decrescente in e presenta un massimo

1

,

0 0

,

1

   

2 2

     

M 1

, m 1

,

relativo nel punto ed un minimo relativo in ;

   

   

3 3

2



Concavità e convessità: la derivata seconda è per cui la

y ' ' 3

x 3

 



funzione presenta concavità verso l’alto in e verso il basso in

0

,

 

  ; non esistono flessi.

,

0

Il grafico è di seguito presentato:

Alternativamente avremmo potuto trovare il grafico a partire dalla



2

x 1



y

seguente considerazione: la funzione può essere scritta come

x 3

3

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x 1

  da cui deduciamo che il grafico è una iperbole centro

y 3 x 3

  x





, di asintoto verticale ed asintoto obliquo .

0

,

0 y

x 0 3

Punto 2 x



L’angolo formato dall’asintoto obliquo di equazione con l’asse

y 3

 

1

      per cui l’ampiezza degli

arctan 30

delle ascisse è angoli

 

 

3  

        

90 90 30 60

individuati dai due asintoti sono .

 

        

90 90 30 120

Punto 3

Si consideri la figura seguente in cui si è supposto il vertice B del

parallelogramma appartenente all’arco di iperole del primo quadrante:

4

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 



2

t 1

 

B t ,

Il vertice B ha coordinate ; il vertice A dovendo appartenere

 

 

t 3  

x t

  

all’asintoto obliquo di equazione ha coordinate ; la

y A t ,

 

 

3 3



2

t 1 t 1

  

base AB del parallelogramma misura ;

AB 

t 3 3 t 3

l’altezza è data dalla proiezione di B sull’asse delle ordinate e quindi

 . Quindi l’area del parallelogramma sarà

h t

sarà pari a

  1 1

     cioè è costante al variare del

S ABCO AB h t



t 3 3    

vertice B lungo l’iperbole. Il perimetro è invece 2 p t 2

OA 2

AB



2

  2 t

t

    

2

OA t

con , per cui

 

 

3 3  

2

4

t 2 

 se t 0

  



2

4 t

  2 4