2010 - Liceo della comunicazione, sessione ordinaria

Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria 2010, matematicamente.it

PROBLEMA 1  

  

la parabola d’equazione 2

Sia f x 1 x



a) Sia F il fuoco di e r la sua direttrice, Si determinino le coordinate

e l’equazione di

di F r 

b) Siano A e B i punti di di ordinata 5 e S il segmento parabolico di

 che dimezza l’area di

base AB. Si determini la retta S

y k

c) Si determini il volume del solido generato dalla rotazione di S intorno

all’asse x 1 dx



d) Si calcoli e lo si interpreti geometricamente.

 

f x

0 RISOLUZIONE

Punto 1   ha l’asse di simmetria coincidente

2

La parabola di equazione y x 1  

con l’asse delle ordinate, vertice in V 0

,

1 , fuoco di coordinate

 

 

    1 3

1 5   

 

  y

cioè , direttrice di equazione .

F 0

, F 0

,

 

  4 a 4

4

4 a

Punto 2  

 interseca l’asse delle ordinate in C 0

,

5

La retta .

y 5

Le ascisse dei punti A e B si calcolano risolvendo il seguente sistema

 

 x 2



A 

   

2 y 5

y x 1 

 .

 



 y 5 x 2



B 

 y 5 1

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2  

    

  

L’area di S è pari a 2 .

A S 5 x 1 dx

 



2

Integrando si ha 2

 





2  

3

  x 8 32

 .

         

2    

A S 2 4 x dx 2 4 x 2 8

 

3 3 3

   

 

0 0

Alternativamente, applicando il teorema di Archimede, l’area del

2 dell’area del rettangolo circoscritto; il

segmento parabolico è pari ai 3    

AB VC 4 4 16

rettangolo circoscritto ha area pari a , per cui il

32

segmento parabolico avrà area .

3

 una generica retta parallela all’asse delle ascisse che

Sia y k    

  

interseca il segmento parabolico nei punti H k 1

, k , K k 1

, k

 

con e che suddivide il segmento parabolico in ed .

S S

1 k 5 1 2

Si consideri la figura sottostante.

  

l’intersezione della retta con l’asse delle ordinate.

D 0 ,k

Sia y k

L’area di S applicando il teorema di Archimede è pari a

1

     

2 2 4 3

          

A S VD HK k 1 2 k 1 k 1 .

2

1 3 3 3

2

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

k 1  

    

  

2

Allo stesso modo per via integrale si ha A S k x 1 dx

 

1  

k 1

Integrando si ha 

k 1

  

k 1 3

  x

   

  

      

2  

A S 2 k x 1 dx 2 k 1 x

 

1  

3

0 0

 

 

 

k 1 k 1 32

4 4

     

        

 

2 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1

 

3 3 3

 

 

  A S 16

 

Imponendo otteniamo

A S

1 2 3

     

4 16

3 3

           

3 3 .

k 1 k 1 4 k 1 2 2 k 1 2 2

2 2

3 3

Punto 3

Il volume richiesto è

 

   

2 2

Integrando

 

 

2

   

 



    

pari

2 2 4 2

V 5 x 1 dx V 2 24 x 2 x dx

 2 0

2

   

5

x 2 32 16 1088

  

      

 

3

 

2 24 x x 2 48

 

 

5 3 5 3 15

0

Punto 4   1 1

 

g x

La funzione rappresenta la Versiera di Agnesi e il

  

2

f x x 1

suo grafico può essere costruito a partire da quello della parabola,

 

f x

osservando che, essendo sempre positiva, continua e derivabile su

     e nell’intervallo un cui

lim g x 0

g x

tutto R, lo è anche ; inoltre  

x

   

f x g x

è crescente è decrescente e viceversa. Di seguito i due

grafici in uno stesso riferimento cartesiano:

3

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

1  

 

1

  

1

L’integrale richiesto è pari a dx arctan x che coincide

 0

2 4

x 1

0

con l’area raffigurata in grigio nella figura di seguito.

4

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PROBLEMA 2     

Nel piano Oxy sono dati i punti e , con . Sia P il

A 2

,

0 B 4

, k k R



punto ottenuto dalla intersezione della retta con la perpendicolare

x k

per B alla retta AB. 

a) Si provi che il luogo geometrico descritto da P al variare di ha

k

 

2

x 2 x 8



equazione: y x



b) Si disegni 

c) Si scriva l’equazione della retta r tangente a nel punti di ascissa 1



d) Si calcoli l’area della parte di piano delimitata da r, da e dalla retta



x 2

Punto 1 k



La retta AB ha coefficiente angolare per cui la perpendicolare

m 2

 

B 4

, k

alla retta AB passante per ha equazione

   

1 2

         . Intersecando la retta di

y k x 4 y x 4 k

m k

 

2

    

y x 4 k

equazione con la retta otteniamo il luogo

x k

k  

2

 

2 x 2 x 8

    

y x 4 x .

x x

Punto 2  

2

x 2 x 8



y

Studiamo la funzione x

   

      

x 0 x ,

0 0

,

Dominio: ;

5

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Intersezione asse ascisse: non ve ne sono in quanto

 

       

2

2

x 2 x 8 x 1