Matematica - Sperimentazione Brocca

Corsi sperimentali

Tema di: matematica - matematica ed informatica

Questionario

1. Siano: 0 < a < b e x ∈ [-b, b]. Si provi che: |x - a| dx = a² + b².

2. Sono dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}. Tra le possibili funzioni (o applicazioni) di A in B, ce ne sono di suriettive? Di iniettive? Di biiettive?

3. Una moneta da 2 euro (il suo diametro è 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella? (cioè non tagli i lati dei quadrati)

4. "Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni". Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta.

5. Si considerino le seguenti espressioni:

   0/₁; 0/₀; 1/₀; 0⁰

   A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta.

6. Con l'aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all'equazione sen x = 0, con punto iniziale x₀ = 3. Cosa si ottiene dopo due iterazioni?

7. Si dimostri l'identità

   (ⁿ_{k + 1}) = (ⁿ_k) ^{n - k}/_{k + 1} con n e k naturali e n > k

8. Alla festa di compleanno di Anna l'età media dei partecipanti è di 22 anni. Se l'età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne?

9. Nei "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze", Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio r e il cilindro ad essa circoscritto. La scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri, che la scodella ha volume pari al cono di vertice V in figura.

10. "Se due punti P e Q del piano giacciono dalla stessa parte rispetto ad una retta AB e gli angoli PAB e QBA hanno somma minore di 180°, allora le semirette AP e BQ, prolungate adeguatamente al di là dei punti P e Q, si devono incontrare". Questa proposizione è stata per secoli oggetto di studio da parte di schiere di matematici. Si dica perché e con quali risultati.

Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito l'uso della calcolatrice non programmabile.

Non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

Corsi sperimentali

Tema di: matematica - matematica ed informatica

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

Problema 1

Sia f la funzione definita da

f(x) = (1 + x + x²/2! + ... + xⁿ/n!) e^-x

dove n è un intero positivo e x ∈ R

1. Si verifichi che la derivata di f(x) è: f'(x) = -xⁿ/n! e^-x

2. Si dica se la funzione f ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando n è dispari, f(x) 1 per ogni x reale.

3. Si studi la funzione g ottenuta da f quando n = 2 e se ne disegni il grafico.

4. Si calcoli da 0 a 2 g(x)dx e se ne dia l'interpretazione geometrica.

Problema 2

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy, si consideri la funzione f: R → R definita da f(x) = x³ + kx, con k parametro reale.

1. Si dica come varia il grafico di f al variare di k (k positivo, negativo o nullo).

2. Sia g(x) = x³ e il suo grafico. Si dimostri che e la retta d'equazione y = 1 - x hanno un solo punto P in comune. Si determini l'ascissa di P approssimandola a meno di 0,1 con un metodo iterativo di calcolo.

3. Sia D la regione finita del primo quadrante delimitata da e dal grafico della funzione inversa di g. Si calcoli l'area di D.

4. La regione D è la base di un solido W le cui sezioni con piani perpendicolari alla bisettrice del primo quadrante sono tutte rettangoli di altezza 12. Si determini la sezione di area massima. Si calcoli il volume di W.