2008. Liceo scientifico di ordinamento sessione straordinaria

Sessione straordinaria 2008 Liceo di ordinamento. Soluzione di Nicola De Rosa

Esame di stato di liceo scientifico

Corso di ordinamento – sessione straordinaria 2008 1

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Sessione straordinaria 2008 Liceo di ordinamento. Soluzione di Nicola De Rosa

Problema 1

Punto 1

= −

c 6

1. Il passaggio per A(0,-6) comporta la condizione;

+ + =

2. Il passaggio per B(1,0) comporta la condizione;

a b c 0

3. Il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola in B(1,0) è pari al valore della derivata prima della funzione parabolica valutata nell’ascissa del punto B, cioè

[ ]

= + = + + =

m 2 ax b 2 a b da cui ricaviamo la terza condizione.

2 a b 5

=

x 1 + + = = −

⎧ ⎧

a b c a

0 1

⎪ ⎪

+ = → =

⎨ ⎨

Si tratta quindi di risolvere il sistema per cui la parabola ha equazione

a b b

2 5 7

⎪ ⎪

= − = −

⎩ ⎩

c c

6 6

= − + −

2

y x 7 x 6.

Punto 2

⎛ ⎞

7 25

=

= − + − ⎜ ⎟

2 V ed interseca

,

La parabola 7 6

y x x ha concavità verso il basso e vertice in ⎝ ⎠

2 4

l’asse delle ascisse in B(1,0) e C(6,0) e quello delle ordinate in A(0,-6).

Si consideri la figura seguente rappresentante il rettangolo inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’asse delle ascisse.

Per trovare i vertici del rettangolo si può procedere in due modi differenti. Li proponiamo entrambi.

7

=

• x ed hanno

I vertici del rettangolo sono simmetrici rispetto alla retta di equazione 2

( ) ( )

( ) ( )

− − − + − − + − < <

2 2 1 x 6

P x,

0, Q 7 x,

0, N 7 x, x 7 x 6, M x, x 7 x 6 con.

perciò coordinate

Il perimetro del rettangolo è

( )

( ) ( )

= + = − + − + − = − + +

2 2

2 p x 2 PQ 2 PM 2 7 2 x 2 x 7 x 6 2 x 10 x 2; anche il perimetro è una parabola con concavità verso il basso che raggiunge il suo massimo nell’ascissa del

5 29

= =

x cui corrispondono il perimetro massimo 2 p ed i vertici

vertice e cioè in max

2 2 2

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⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ 5 9 9 21 5 21 ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

P,

0, Q,

0, N,, M,.

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝ 2 2 2 4 2 4

Alternativamente il perimetro massimo può essere calcolato mediante derivazione.

Le derivate, prima e seconda della funzione perimetro, sono

( ) = − +

2 p ' x 4 x 10

( ) = −

2 p ' ' x 4 ⎛ ⎞

5

⎜ ⎟

da cui deduciamo che la funzione perimetro è strettamente crescente in 1

,, strettamente

⎝ ⎠

2

⎛ ⎞ 5

5 =

⎜ ⎟ x è l’ascissa di un

decrescente in,

6 e sempre concava verso il basso, per cui

⎝ ⎠ 2

2

massimo relativo.

• Senza sfruttare la proprietà per cui i vertici del rettangolo sono simmetrici rispetto alla retta

7

=, si può procedere nel seguente modo. I vertici M ed N hanno ordinata generica

x 2 ⎞

⎛ 25

= < <

⎜ ⎟

y k 0 k, cui corrispondono le ascisse date dalle soluzioni dell’equazione

⎝ ⎠

4 + − k

7 25 4

=

x N 2

= − + − ⇒ − + + = ⇒

2 2

k x x x x k.

7 6 7 6 0 − − k

7 25 4

=

x M 2

I vertici del rettangolo risultano allora

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − + − + − − −

7 25 4 7 25 4 7 25 4 7 25 4

k k k k

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟. Il

,

0,,

0,,,

P Q N k M, k

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 2 2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )

( ) ( )

= + = − + = − +

2 p k 2 PQ 2 PM 2 25 4 k 2 k 2 25 4 k k. Procediamo

perimetro è

mediante derivazione per la massimizzazione del perimetro. Le derivate, prima e seconda della funzione perimetro, sono

⎛ ⎞

− −

( ) 25 4 k 2

⎜ ⎟

=

2 p ' k 2

⎜ ⎟

−

⎝ ⎠

25 4 k

( ) 8

= −

2 p ' ' k ( ) 3

−

25 4 k 2

Studiando il segno della derivata prima si deduce che: 3

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⎧ 21

− > <

⎧ k

25 4 4 k

⎪

⎛ ⎞

− − ⎪

⎪⎨

( ) 21

k

25 4 2 4

⎜ ⎟

= ⇒

> ⇒ − − > ⇒ ⇒ < <

⎨ k

0

p k k

2 ' 2 0 25 4 2 0

⎜ ⎟ 25

< <

− 25 4

⎝ ⎠ k

0

⎪⎩ ⎪

k

25 4 < <

k

0

⎪⎩ 4

⎧ 21

− < >

⎧ k

25 4 4 k

⎪

⎛ ⎞

− − ⎪

⎪⎨

( ) k

25 4 2 21 25

4

⎜ ⎟

= ⇒ < <

⇒

< ⇒ − − < ⇒ ⎨ k

p k k

2 ' 2 0 25 4 2 0

⎜ ⎟ 25

< <

− 25 4 4

⎝ ⎠

k

0

k

25 4 < <

k

0

⎪⎩

⎪⎩ 4

⎛ ⎞

21

⎜ ⎟

0

,, strettamente decrescente in

per cui la funzione perimetro è strettamente crescente in ⎝ ⎠

4

⎛ ⎞

⎛ ⎞ 21 21

21 25 = − < =

⎜ ⎟

⎜ ⎟ 2 p ' ' 1 0 da cui deduciamo che k massimizza il perimetro.

,; inoltre ⎝ ⎠

⎝ ⎠ 4

4

4 4 21

=

k sono gli stessi di quelli trovati precedentemente.

I vertici corrispondenti a 4

Punto 3

⎛ ⎞

⎛ ⎞ [ ]

5 5 21

21 +

= − = − + =

⎜ ⎟

⎜ ⎟

M ha equazione

,

La tangente in con e cioè

y m x m 2 x 7 2

5

=

x

M

M ⎝ ⎠

⎝ ⎠

2 2 4

4 2

⎛ ⎞

⎛ ⎞ 9 21

1 9 21 = − +

= + ⎜ ⎟

⎜ ⎟ con

y m x

y 2 x; la tangente in N, ha equazione N ⎝ ⎠

⎝ ⎠

4 2 4

2 4 ⎛ ⎞

[ ] 7 29

57

= − +

= − + = − ⎜ ⎟

D.

,

e cioè y 2 x. Le due tangenti si incontrano in

m 2 x 7 2

9

=

x

N ⎝ ⎠

2

4 4

2 ⎞

⎛

1 1

= + −

⎜ ⎟

La tangente di equazione y 2 x incontra l’asse delle ascisse in E mentre la tangente

,

0

⎝ ⎠

4 8

⎛ ⎞

57 57

= − + ⎜ ⎟

di equazione y 2 x in F,

0. Si consideri la figura sottostante raffigurante la parabola e

⎝ ⎠

4 8

le due tangenti:

Il triangolo isoscele DMN ha i lati che misurano:

2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

7 5 29 21 9 7 29 21

= − + − = = − + − = =

⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

DM 5, DN 5, MN 2.

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 4 4 2 2 4 4 4

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( ) 2 2 2

+ − + −

DM DN MN 5 5 4 3

= = =

circ per cui

Per il teorema del coseno M

D

N

cos · · · 5

DM DN

2 2 5 5

⎛ ⎞

3

= ≅ °

circ ⎜ ⎟

M

D

N arccos 53 8

’.

⎝ ⎠