Matematica

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2006

Seconda prova scritta

M557 - Esame di Stato di liceo scientifico

Corso di ordinamento

Tema di: matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1

Un filo metallico di lunghezza λ viene utilizzato per delimitare il perimetro di un’aiuola rettangolare.

a) Qual è l’aiuola di area massima che è possibile delimitare?

Si pensa di tagliare il filo in due parti e di utilizzarle per delimitare un’aiuola quadrata e un’altra circolare. Come si dovrebbe tagliare il filo affinché:

b) la somma delle due aree sia minima?

c) la somma delle due aree sia massima?

Un’aiuola, una volta realizzata, ha la forma di parallelepipedo rettangolo; una scatola, cioè, colma di terreno. Si discute di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione. Di quanto terreno in più, in termini percentuali, si ha bisogno?

Problema 2

( ) =

= 2

Si considerino le funzioni f e g determinate da e g x ax, essendo un parametro

a

f x log x

reale e il logaritmo in base e. = 2

a, l’equazione log x ax e si dica, in particolare, per quale valore di

1. Si discuta, al variare di a, i grafici di f e g sono tra loro tangenti.

= g

a 1

2. Si calcoli, posto = a 1, l’area della parte di piano delimitata dai grafici delle funzioni f e

= =

dalle rette x 1 e x 2.

1

= − 2

3. Si studi la funzione h(x) = log x − ax² scegliendo per a un valore numerico maggiore di e

a 2

e

se ne disegni il grafico.