2006 - Liceo scientifico di ordinamento

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Seconda prova scritta

M557 - Esame di Stato di Liceo Scientifico

Corso di ordinamento

Tema di: Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1

λ viene utilizzato per delimitare il perimetro di un’aiuola

Un filo metallico di lunghezza rettangolare.

a) Quale è l’aiuola di area massima che è possibile delimitare?

Si pensa di tagliare il filo in due parti e di utilizzarle per delimitare un’aiuola quadrata e un’altra circolare.

Come si dovrebbe tagliare il filo affinché:

b) la somma delle due aree sia minima?

c) la somma delle due aree sia massima?

Una aiuola, una volta realizzata, ha la forma di parallelepipedo rettangolo; una scatola, cioè, colma di terreno. Si discute di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione. Di quanto terreno in più, in termini percentuali, si ha bisogno?

Problema 2

( )

( ) =

= 2

Si considerino le funzioni f e g determinate da e g x ax, essendo un parametro reale e il logaritmo in base e.

a

f x log x

reale e il logaritmo in base e. = 2

a, l’equazione log x ax e si dica, in particolare, per quale valore di

1. Si discuta, al variare di a i grafici di f e g sono tra loro tangenti.

= g

a 1

, l’area della parte di piano delimitata dai grafici delle funzioni f e e

2. Si calcoli, posto

= =

dalle rette e

x 1 x 2 . 1

= − 2

h x x ax

3. Si studi la funzione ( ) log scegliendo per un valore numerico maggiore di e

a 2

e

se ne disegni il grafico.

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Seconda prova scritta

M557 - Esame di Stato di Liceo Scientifico

Corso di ordinamento

Matematica

Tema di:

Questionario

Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64^a casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38 g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’inventore.

2. I poliedri regolari – noti anche come solidi platonici – sono, a meno di similitudini, solo cinque: il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro. Sai dimostrarlo?

3. Un foglio di carta deve contenere: un’area di stampa di 50 cm², margini superiore e inferiore di 4 cm e margini laterali di 2 cm. Quali sono le dimensioni del foglio di carta di area minima che si può utilizzare?

4. La capacità di un serbatoio è pari a quella del cubo inscritto in una sfera di un metro di diametro. Quanti sono, approssimativamente, i litri di liquido che può contenere il serbatoio?

5. Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a + b)ⁿ è uguale a 2ⁿ per ogni n ∈ N.

6. L’equazione risolvente un dato problema è: cos 2x + 5k cos x + 2k = 0, dove k è un parametro reale e x ha le seguenti limitazioni: 15° < x < 45°. Si discuta per quali valori di k le radici dell’equazione siano soluzioni del problema.

7. La funzione f(x) = x³ − 2x² soddisfa le condizioni del teorema di Lagrange nell’intervallo [0, 1]? Se si, trova il punto ξ che compare nella formula

f(b) − f(a) = f′(ξ)(b − a).

8. La funzione f(x) = tg x assume valori di segno opposto negli estremi dell’intervallo I = [3π/4, π], eppure non esiste alcun x ∈ I tale che f(x) = 0. È così? Perché?

9. Della funzione f(x) si sa che è derivabile e diversa da zero in ogni punto del suo dominio e, ancora, che:

f′(x) = f(x)f(0) e f(1) = 2.

Puoi determinare f(x)?

10. La funzione f(x) = a sen x + b cos x ha un estremo relativo per x = π/3 ed è f(π/4) = 2. Si trovino a e b e si dica quale è il periodo di f(x).

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Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

Nicola De Rosa Liceo Scientifico Ordinamento anno 2006

Soluzione di De Rosa Nicola

a)

L’area è: λ λ λ

 

( ) x

= − = − ≤ ≤

2

 

A x x x x

* , 0 x

 

2 2 2

Calcoliamo la derivata prima e seconda:

λ λ

( ) = − > → <

I

A x x x

2 0

2 4

λ

( ) = − < ∀ → =

II

A x x x

2 0 è l’ascissa del massimo, per cui

4

λ λ

  2

( )

= = =

 

x A

A A cioè l’area massima la si ha in corrispondenza di un quadrato

max max  

4 16 www.matematicamente.it

Nicola De Rosa Liceo Scientifico Ordinamento anno 2006

Ora suddividiamo il perimetro in due: λ

= = −

2 p x è il perimetro dell’aiuola circolare e 2p x quello del quadrato

circ q λ −

− 2

 

  ( ) λ

x x

=  

  per cui l’area è A x