2006 - liceo scientifico sperimentale, sessione straordinaria

Sessione straordinaria PNI 2006 Soluzione di De Rosa Nicola

Esame di stato di liceo scientifico

Corso sperimentale

Sessione straordinaria 2006 – Tema di matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Problema 1

È dato il triangolo ABC in cui: ()

25

= = =

AB, AC 5 5, tan  2

2

Determinare l’altezza del triangolo relativa al lato AB e tracciare la circonferenza k avente centro in C e tangente al lato AB.

Dopo aver riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali, in modo, però, che uno degli assi di riferimento sia parallelo alla retta AB:

• Scrivere l’equazione della circonferenza k;
• Trovare le coordinate dei vertici del triangolo e del punto D in cui la circonferenza k interseca il segmento BC;
• Determinare l’equazione della parabola p, avente l’asse perpendicolare alla retta AB, tangente in D alla circonferenza k e passante per A;
• Calcolare le aree delle due regioni in cui la parabola p divide il triangolo ABC;
• Trovare, infine, le coordinate dei punti comuni alla circonferenza k ed alla parabola p.

Problema 2

Si considerino i polinomi di 5° grado, nella variabile x, con coefficienti reali, i cui grafici, rappresentati in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono simmetrici rispetto all’origine O ed hanno un massimo relativo nel punto

⎛ ⎞

64

−

⎜ ⎟

2

,

⎝ ⎠

15

• Trovare l’equazione y=f(x) dei grafici suddetti.
• Dimostrare che tali grafici hanno tre punti in comune, in due dei quali hanno anche la stessa tangente. γ il grafico avente come tangente inflessionale l’asse x e disegnarne l’andamento.
• Indicare con γ
• Indicato con P(x) il polinomio rappresentato da e chiamati u e v (u<v) le ascisse dei punti, distinti da O, in cui v ( ) γ interseca l’asse x, calcolare:

∫ P(x) dx

u 1

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• Dopo aver controllato che γ ha tre flessi allineati, determinare le ascisse dei punti in cui la retta dei flessi interseca γ.

Questionario

1. È assegnato un pentagono regolare di lato lungo L. Recidendo opportunamente, in esso, cinque triangoli congruenti, si ottiene un decagono regolare: calcolarne la lunghezza del lato. (Si lascino indicate le funzioni goniometriche degli angoli coinvolti).

2. Una piramide quadrangolare regolare è tale che la sua altezza è il doppio dello spigolo di base. Calcolare il rapporto fra il volume del cubo inscritto nella piramide e il volume della piramide stessa. →

3. Se le funzioni f(x) e g(x), entrambe tendenti a 0, quando x → a, non soddisfano alle condizioni previste dal teorema di De L’Hôpital, non è possibile calcolare il limite di

   f(x)

   g(x)

   quando x → a. È vero o è falso? Fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

4. Il limite della funzione f(x)=x−x ln x, per x→+∞:

   • [A] è 0;
   • [B] è un valore finito diverso da 0;
   • [C] è +∞;
   • [D] è −∞.

   Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata.

5. Il limite della funzione

   f(x) = (e^−x − 1) / x, per x → 0, è uguale ad 1. Si chiede di calcolarlo senza ricorrere alla regola di De L’Hôpital.

6. Si ricorda la seguente definizione: «Considerata una funzione reale di variabile reale f(x), definita in un intervallo I, ogni funzione F(x), derivabile in I e tale che F’(x)=f(x), si dice primitiva di f(x) in I». Stabilire se la funzione:

   ⎧

   1 se 1 ≤ x ≤ 2

   f(x) = ⎨

   2 se 2 ≤ x ≤ 3

   ⎩

   ammette primitiva nell’intervallo [1,3].

7. Giustificare, con considerazioni analitiche o mediante un’interpretazione grafica, che la seguente equazione:

   x⁵ + x³ + 1 = 0

   ammette una ed una sola soluzione reale. Trovare, quindi, l’intervallo [z, z+1] al quale appartiene tale soluzione, essendo z un numero intero.

8. Descrivere un algoritmo idoneo a calcolare un valore approssimato, a meno di 10⁻³, della soluzione reale della precedente equazione.

9. Si considerino le seguenti equazioni:

   x’ = a x − (a − 1) y + 1, y’ = 2 a x + (a − 1) y +2,

   dove a è un parametro reale.

   Determinare i valori di a per cui le equazioni rappresentano: 1) un’affinità, 2) un’affinità equivalente (si ricorda che un’affinità si dice equivalente se conserva le aree).

10. Una classe è formata da 28 alunni, di cui 16 femmine e 12 maschi. Fra le femmine ci sono due “Maria” e fra i maschi un solo “Antonio”. Si deve formare una delegazione formata da due femmine e due maschi. Quanto vale la probabilità che la delegazione comprenda “Antonio” e almeno una “Maria”?

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Problema 1

È dato il triangolo ABC in cui: ()

25

= = =

AB, AC 5 5, tan  2

2

Determinare l’altezza del triangolo relativa al lato AB e tracciare la circonferenza k avente centro in C e tangente al lato AB.

Dopo aver riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali, in modo, però, che uno degli assi di riferimento sia parallelo alla retta AB:

Punto a

Scrivere l’equazione della circonferenza k;

Consideriamo la figura seguente:

Applichiamo la teoria trigonometrica al triangolo rettangolo ACH:

()

= · =

CH AH tan  2 AH

Ora essendo il triangolo ACH rettangolo per il teorema di Pitagora si ha:

2

CH

2 2 2 2 2

+ = → + = → = → = → =

AH CH AC CH 125 CH 100 CH 10 AH 5

4

Il sistema di riferimento più immediato e conveniente consiste nel prendere C come origine, per cui la circonferenza con centro nell’origine C e raggio CH = 10 ha equazione

+ = =

2 2 2

: 100

k x y r 4

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Punto b

Trovare le coordinate dei vertici del triangolo e del punto D in cui la circonferenza k interseca il segmento BC;

Calcolo del punto D: lo ricaviamo dall’intersezione della retta CB con la circonferenza.

Calcoliamo la retta BC: essa passante per il centro (0,0) ha equazione

= ,

y=mx

CH 10 20 4

= = = =

m 25 15 3

HB − 5

2

Quindi:

⎧ + =

2 2

x y 100

⎪ 16 25

→ + = → = → = → = ± → = ±

2 2 2 2

⎨

D : x x 100 x 100 x 36 x 6 y 8

4

= 9 9

⎪ y x

⎩ 3

⎛ ⎞

( ) 15

=

= ⎜ ⎟

B ed A

,

10

. Inoltre nel sistema di riferimento scelto B ha coordinate

per cui si ha D 6

,

8 ⎝ ⎠

2

( )

= −

ha coordinate A 5

,

10

Punto c

Determinare l’equazione della parabola p, avente l’asse perpendicolare alla retta AB, tangente in D alla circonferenza k e passante per A;

= + +

2

Equazione della parabola: y=ax²+bx+c

( )

= − − + =

A 5

,

10

Il passaggio per A impone: 25a − 5b + c = 10

( )

= + + =

Il passaggio per D impone:

D 6

,

8 36a + 6b + c = 8

5

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( )

=

Il coefficiente angolare della tangente in D (6, 8) alla parabola è:

( ) ( )

= = = + = +

I

m y’ x 6 = 2ax + b = 12a + b

=

x 6

Ma tale tangente è certamente perpendicolare alla retta BC, per cui il suo coefficiente angolare sarà

1 3 3

= − = − + = −

per cui la condizione sulla tangenza impone.

m 12a + b

4 4 4

3

Bisogna allora risolvere il sistema di tre equazioni in tre incognite seguente:

⎧

⎪ − + =

25a − 5b + c = 10

⎪ + + =

⎨

36a + 6b + c = 8

⎪ 3

⎪ + = −

12a + b = −

⎩ 4

Dalle prime due equazioni, sottraendo una dall’altra, eliminiamo la dipendenza da c ottenendo

+ = −

11

a 11

b 2

E ricavando il parametro b dalla terza equazione si ha:

⎛ ⎞

3 33 25 25

= − → − − = − → − = → = −

+ − −

⎜ ⎟

11 11 12 2 11 132

a a a a a a

2 121

⎝ ⎠

4 4 4 484

da cui 3 300 3 63

= − − = − = −

b a

12 4 484 4 484

315 625 5150

= + − = − + =

c b a

10 5 25 10 484 484 484 25 63 5150

= − − +

2

y x x

Per cui l’equazione della parabola è: 484 484 484

Punto d

Calcolare le aree delle due regioni in cui la parabola p divide il triangolo ABC;

Consideriamo la figura sottostante: 6

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Iniziamo a calcolare il punto G di intersezione tra la parabola e la retta di equazione y=10: bisogna risolvere l’equazione

− ±

25 63 5150 63 187 62

→ = − =

− − + = → + − = → =

2 2

10 25 63 310 0 5

,

x x x x x x x

1 2

484 484 484 50 25

⎛ ⎞

62

= ⎜ ⎟

per cui,

10

G ⎝ ⎠

25

Calcoliamo ora l’equazione della retta GD: