2006 - Liceo scientifico di ordinamento sessione straordinaria

Sessione Straordinaria LS_ORD 2006 Soluzione di De Rosa Nicola

SOLUZIONE

Consideriamo la figura seguente:

Applichiamo la teoria trigonometrica al triangolo rettangolo ACH:

()

= =

CH AHtg  2 AH

Ora essendo il triangolo ACH rettangolo per il teorema di Pitagora si ha:

2

CH

+ = → + = → = → = → =

2 2 2 2 2

AH CH AC CH CH CH AH

125 100 10 5

4 1

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a)

Il sistema di riferimento più immediato e conveniente consiste nel prendere C come origine, per cui

CH=10 ha equazione

la circonferenza con centro nell’origine C e raggio

+ = =

2 2 2

k x y r

: 100

b)

Calcolo del punto D: lo ricaviamo dall’intersezione della retta CB con la circonferenza.

Calcoliamo la retta BC: essa passante per il centro (0,0) ha equazione

=

y mx ,

CH 10 20 4

= = = =

m 25

HB 15 3

− 5

2

Per cui D: + =

 2 2

x y 100

 16 25

→ + = → = → = → = ± → = ±

2 2 2 2

 x x 100 x 100 x 36 x 6 y 8

4

= 9 9

y x



 3 ( )

=

D 6

,

8

Per cui si ha 2

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( )  

15

= =  

B ha coordinate B HB , CH ,

10

 

2

( ) ( )

= − = −

A AH , CH 5

,

10

A ha coordinate

c) = + +

2

Equazione della parabola: y ax bx c

( )

= − − + =

A 5

,

10 impone:

Il passaggio per 25 a 5

b c 10

( )

= + + =

D 6

,

8

Il passaggio per impone: 36 a 6

b c 8

( )

=

D 6

,

8 alla parabola è :

Il coefficiente angolare della tangente in

( ) ( )

= = = + = +

I

m y x 6 2 ax b 12 a b

=

x 6

Ma tale tangente è certamente perpendicolare alla retta BC, per cui il suo coefficiente angolare sarà

1 3 3

= − = − + = −

m per cui la condizione sulla tangenza impone .

12 a b

4 4 4

3

Bisogna allora risolvere il sistema di tre equazioni in tre incognite seguente:



 − + =

25 a 5

b c 10

 + + =



36 a 6

b c 8

 3

+ = −



12 a b

 4

Dalle prime due equazioni, sottraendo una dall’altra, eliminiamo la dipendenza da c ottenendo

+ = −

11

a 11

b 2

E ricavando il parametro b dalla terza equazione si ha:

 

3 33 25 25

= − → − − = − → − = → = −

+ − −

 

11 11 12 2 11 132 2 121

a a a a a a

  4 484

4 4

da cui 3 300 3 63

= − − = − = −

12

b a 4 484 4 484

315 625 5150

= + − = − + =

10 5 25 10

c b a 484 484 484 25 63 5150

= − − +

2

Per cui l' equazione della parabola è : y x x

484 484 484 3

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d)

Iniziamo a calcolare il punto G di intersezione tra la parabola e la retta di equazione y=10: bisogna

risolvere l’equazione − ±

25 63 5150 63 187 62

→ = − =

− − + = → + − = → =

2 2

x x x x x x x

10 25 63 310 0 5

,

1 2

484 484 484 50 25

 

62

=  

per cui G ,

10

 

25

Calcoliamo ora l’equazione della retta GD:

62

−

x

−  

y 10 25 62 25 251

25

= → = − − = − +

 

GD : y 10 x x

−  

62

8 10 44 25 44 22

−

6 25

Ora l’area = −

S A S

BGD

1 3

= −

S A S

ABC

2 1

Quindi: 4

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b h

*

=

A

BGD 2

15 62 251

= − =

b 2 25 50

= − =

h 10 8 2

b * h 251

= =

Per cui A

BGD 2 50

 

6  

 

25 63 5150 25 251

∫

= − − + − − + =

2  

 

S x x x dx

 

3  

 

 484 484 484 44 22

62

25 6

 

6    

25 212 372 1 25

∫ =

− + − = − + −

2 3 2

 

x x dx x 106 x 372 x

   

484 484 484 484 3 62

62 25

25  

1 238328 407464 23064

= − + − + − + =

1800 3816 2232

 



484 1875 625 625

 

1 745736 704

= − + =

216

 



484 1875 1875

Da cui 251 704 17417

= − = − =

S A S

1 BGD 3 50 1875 3750

25 * 10

AB * CH 17417 125 17417 108479

2

= − = − = − = − =

S A S S

2 ABC 1 1

2 2 3750 2 3750 1875

e)

Il calcolo dei punti di intersezione lo si risolve attraverso il seguente sistema:

+ =

 2 2

x y 100



 25 63 5150

= − − +

2

y x x



 484 484 484

Da cui 2

 

25 63 5150

+ − − + − = → + − − + = →

2 2 4 3 2

 

x x x 100 0 625 x 3150 x 19275 x 648900 x 3096900 0

 

484 484 484 − ±

( )

( ) 213 44

i 23

− + + = → = =

2 2

x 6 25 x 426 x 3441 0 x 6

, x

1 2 , 3 25

( )

=

D 6

,

8 .

per cui l’unico punto di intersezione è 5

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SOLUZIONE

a)

Un polinomio di 5° grado ha equazione:

( )

= = + + + + +

5 4 3 2

y g x ax bx cx dx ex f

Ora dire che la curva è simmetrica rispetto all' origine significa che

( )

( ) ( )

= − − → + + + + + = − − + − + − +

5 4 3 2 5 4 3 2

g x g x ax bx cx dx ex f ax bx cx dx ex f

+ + = → = + +

4 2 5 3

bx dx f 0 y ax cx ex

 

64 64 32

→ − − − = → + + = −

 

Passaggio per - 2, 32 a 8

c 2 e e 4 c 16 a

 

15 15 15

 

64

 

Il massimo relativo in - 2, impone :

 

15

[ ]

( )

− = → + + = + + =

I 4 2

y 2 0 5 ax 3

cx e 80 a 12 c e 0

= −

x 2

[ ]

( )

−