1997 - Liceo scientifico di ordinamento - prova completa

Sessione ordinaria 1997 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola

1) In un piano sono assegnate una circonferenza k di raggio di lunghezza nota r ed una

parabola p che seca k nei punti A e B e passa per il suo centro C. Inoltre l'asse di simmetria

della parabola è perpendicolare alla retta AC e la corda AB è lunga quanto il lato del triangolo

equilatero inscritto in k. Dopo aver riferito il piano ad un conveniente sistema di assi

cartesiani (Oxy):

a) determinare l'equazione della parabola p;

b) calcolare il volume del solido generato, con una rotazione completa attorno alla retta AC,

dalla regione piana delimitata dai segmenti di rette AB e AC e dall'arco BC della parabola p;

c) considerata la retta t, tangente alla parabola p e parallela alla retta AB, trovare la distanza

delle rette t ed AB;

d) dopo aver dimostrato analiticamente che p e k non hanno altri punti comuni oltre ad A e B,

calcolare le aree delle regioni piane in cui p divide il cerchio delimitato da k.

a)

Consideriamo il sistema di riferimento in modo da avere il centro della circonferenza coincidente

con l’origine del sistema stesso (0,0). Con tale assunzione la circonferenza avrà equazione:

+ =

2 2 2

k : x y r

Consideriamo ora la figura seguente in cui è stato inscritto nella circonferenza il triangolo

equilatero:

Dal grafico si evince che: 1

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( ) 3

= = ° = =

AB 2 BH 2 BC sin 60 2 r r 3

2

r

( )

= ° =

HC BC sin 30 2

Con tali considerazioni i punti A,B si determinano subito: infatti

⎛ ⎞

( ) r r 3

⎜ ⎟

= = −

A r ,

0 , B ,

⎜ ⎟

2 2

⎝ ⎠

⎛ ⎞

( ) ( )

r r 3

⎜ ⎟

= = − =

A r B C alla parabola di

,

0 , , , 0

,

0

In tal modo imponendo il passaggio per i punti ⎜ ⎟

2 2

⎝ ⎠

= + +

2

equazione y ax bx c si ricava il sistema seguente: ⎧ 2 3

=

⎪ a

⎧ + + =

2

ar br c 0 r

3

⎧ ⎪

+ =

2

⎪ ar br 0

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

2

ar br r 2 3

3 ⇒ − =

− + = ⇒ = −

2

⎨ ⎨ ⎨

c ar br r b

2 2 3 3

4 2 2

⎪ ⎪ ⎪

=

⎪

c 0

= =

⎪ ⎪

⎩

c 0 0

c

⎩ ⎪

⎪

⎩

Per cui l’equazione è: 2 3 2 3

= −

2

p : y x x

3

r 3

b)

Consideriamo la figura sottostante. 2

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Innanzitutto calcoliamo la retta AB:

−

y ( ) ( ) ( )

x r r 3 3 3

2

= ⇒ = − − = − − = − +

:

AB y * * x r x r x r

r 3

r 2 3 3

r 3 − − r

2

2

Il volume desiderato lo calcoliamo in questo modo:

2 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

0

r ( )

3 2 3 2 3

∫ ∫

π π

= − = − =

+ − −

2

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

V V V x r dx x x dx

1 2 3 3 3

r

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r r

− −

2 2

( )

− ⎡ ⎤

2 0

r x r 4 4 8

∫ ∫

π π

− + − =

4 2 3

dx x x x dx

⎢ ⎥

⎣ ⎦

2

3 3 3

r

3

r

r r

− − 2

2

( ) r

⎡ ⎤

− 0

⎡ ⎤

3 4 4 2

x r

π π

− + − =

5 3 4

⎢ ⎥ x x x

⎢ ⎥

⎣ ⎦

2

⎣ ⎦

9 9 3

r

15 r r

−

r

− 2

2

⎡ ⎤

π 3 5 3 4

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ r r r r

3 4 4 2

π =

+ −

− −

− − − ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜ ⎢ ⎥

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝ 2

⎢ ⎥

r

9 2 2 9 2 3 2

r

15

⎣ ⎦

( )

π π π π π π

⎛ ⎞ −

3 3 3 3 3 3 3 3 3

r r r r r r r r r

3 3 38 270 76 194 97

π ⎜ ⎟

− + + = − = = =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

8 120 18 24 8 360 720 720 360 3

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c) 3

= − +

y x k dove il valore k

La retta tangente alla parabola e parallela alla retta AB ha equazione 3

lo troviamo imponendo la condizione di tangenza:

⎧ 2 3 2 3

= −

2

⎪ y x x

⎪ 2 3 2 3 3 2 3 3

3

r 3 ⇒ − = − + ⇒ − − = ⇒

2 2

⎨ x x x k x x k 0

3

r 3 3 3

r 3

⎪ 3

= − +

y x k

⎪

⎩ 3 − − =

2

2 3 x r 3 x 3

rk 0

Da cui la condizione di tangenza impone:

( ) ( ) 3

r

2 + = ⇒ = − → = −

2

3 4 2 3 * 3 0 24 3 3

r rk rk r k 24

Da cui la tangente è 3 r 3

= − −

t : y x 3 24

Calcoliamo ora il punto di contatto tra tangente e parabola:

⎧ 2 3 2 3

= −

2

⎪ y x x

⎪ 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3

r r

3 3

r ⇒ − = − − ⇒ − + = ⇒

2 2

⎨ 0

x x x x x

3 3 3 24 3