2004 - Liceo Scientifico PNI

Sessione ordinaria PNI 2004 Soluzione di De Rosa Nicola

Soluzione

1) λ λ

−

= > >

2

x

y ke , k 0

, 0

Studiamo la funzione

Dominio: la funzione è definita in tutto R;

Intersezione asse delle ascisse: non esistono intersezioni con l’asse delle ascisse;

= → =

Intersezione con l’asse delle ordinate: x 0 y k ;

λ λ

− − −

− = = =

2 2

( x ) x

f ( x ) ke ke f ( x )

Parità o disparità: per cui la funzione è pari;

λ

−

= > ∀ ∈

> 2

x

y ke 0 x R

Positività: essendo per ipotesi k 0 allora ;

Asintoti verticali: non ce ne sono visto il dominio;

( )

λ

− −∞

= = =

2

x ( )

lim ke ke 0 per cui y 0 è asintoto orizzontale destro e

Asintoti orizzontali: → ±∞

x

sinistro; ( )

λ

− 2

x

ke =

lim 0 ;

Asintoti obliqui: non ce ne sono visto che → ±∞ x

x 1

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λ

λ λ

−

= − > >

2

x

y ' 2 k xe

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è ed essendo k 0

, 0 si ha

]

(

− ∞

≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ,

0

y ' 0 x 0 x 0 per cui la funzione è crescente in e decrescente altrimenti;

[ ] [ ] 1

λ λ λ

λ

−

= − = ⇔ − = ⇔ = ±

2

x 2 2

y k e x x x

la derivata seconda è ' ' 2 2 1 0 2 1 0 per cui i

λ

2

   

1 1

− −

1 1 λ

    = − <

−

2 2 sono due flessi; inoltre y ' ' ( 0 ) 2 k 0 per cui ( 0

, k )

punti , ke , , ke

   

λ λ

   

2 2

è un massimo relativo ed assoluto.

Il grafico è sotto presentato:

2)

Si consideri la figura sottostante: 2

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Vista la simmetria della funzione (ricordiamo che è pari) allora anche i vertici del rettangolo

= >

saranno simmetrici rispetto all’asse delle ordinate, per cui indicata con x h , h 0 l’ascissa

generica del punto D, i vertici del rettangolo saranno:

( )

λ

−

= − 2

h

A h , ke

( )

λ

−

= 2

h

B h , ke

= −

C ( h , 0 )

=

D ( h , 0 )

Quindi il rettangolo avrà area: ( )

λ λ λ

− −

= = = > > >

2 2

h h

( ) * 2 2 , 0

, 0

, 0

A h DB BA ke h hke h k

λ

−

= 2

h

( ) 2

A h hke

Calcoliamo le derivate della funzione :

( ) 1

λ λ

−

= − ≥ ⇔ < ≤

2

h 2

A

' ( h ) 2 ke 1 2 h 0 0 h λ

2

( ) ( ) ( )

( )

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ

− − − −

= − − + − = − − + = −

2 2 2 2

h 2 h h 2 h 2

A

' ' ( h ) 4 hk e 1 2 h 2 ke 4 h 4 hk e 1 2 h 2 4 hke 2 h 3

λ λ

−

  1

−

1 8 k 2

= = − <

  2

A

' ' e 4 k 0

 

λ λ

  e

2 2 3

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1

=

per cui l’area massima la si ha per h e quindi in corrispondenza dell’ascissa di flesso.

λ

2

3) +∞ 2

x

−

∫

= 2

I ke dx

Consideriamo l’integrale .

− ∞

Esso può essere riscritto in questo modo: 2

 

+ ∞ + ∞

2 x

x −  

−  

∫ ∫

= =  

2

2

I ke dx k e dx

− ∞ − ∞

x

= → =

ed effettuando la sostituzione t dx 2 dt esso viene scritto come:

2 x

=

2

  t

+ ∞ + ∞ + ∞

2 x

x −  

− 2

  ( )

−

∫ ∫ ∫ 2

= = =

  t

2

2

I ke dx k e dx k 2 e dt

− ∞ − ∞ − ∞

+∞ π

−

∫ =

2

x

ed essendo per ipotesi si ha:

e dx

− ∞ x

=

2

  t

+ ∞ + ∞ + ∞

2 x

x −  

− 2

  ( ) π π

−

∫ ∫ ∫ 2

= = = = =

  t

2

2

I ke dx k e dx k 2 e dt k 2 * k 2

− ∞ − ∞ − ∞

Ora l’integrale non è altro che l’area sottesa dalla curva iniziale per cui tale area è unitaria se e

I 1

π

= = ⇔ = .

solo se 2 1

I k k π

2 2

x

−

1

= 2

In tal modo la funzione di partenza diventa y e e questa non è altro che la curva degli

π

2

errori di Gauss, quella che in probabilità e statistica va sotto il nome di distribuzione gaussiana

standard con media nulla e varianza unitaria.

4) µ σ

≠ ≠

2

In generale una densità di probabilità gaussiana con media 0 e varianza 1 (od

σ ≠

equivalentemente deviazione standard 1 ) è così espressa:

( )

µ

− 2

x

−

1

= σ 2

2

y e

σ π

2 µ σ

= 2

In particolare il passaggio da una variabile aleatoria gaussiana non standard X N ( , ) ad

µ

−

X

= =

una standard Y N ( 0

,

1

) avviene tramite la trasformazione lineare , per cui una

Y σ • la

trasformazione lineare trasforma una gaussiana in una gaussiana. Infatti indicando con [ ]

E 4

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media statistica, ricordando la proprietà di additività della media e che la media di una costante

µ

−

X

=

coincide con la costante stessa, si ricava la media statistica della variabile aleatoria :

Y σ

µ

−

  ( ) ( )

1 1

X µ µ µ

= = − = − =

[ ] [ ] [ ] 0

E Y E E X E

 

σ σ σ

 

Inoltre ricordando che in una trasformazione lineare, il cambiamento di scala influisce col suo

quadrato sulla varianza mentre una traslazione non influisce sulla varianza, si ricava la varianza

µ

−

X

=

della variabile aleatoria :

Y σ σ

( ) 2

1

σ σ

= = =

2 2 1

σ σ

Y X

2 2

( )

µ

− 2

x

−

1

= σ 2

2

y e

Le proprietà della funzione sono le seguenti:

σ π

2 1

µ

= =

Il massimo lo si ha per e vale ;

1. x y σ π

2

µ µ

=

2. La retta è l’asse di simmetria della curva ed il valore è la media coincidente

x

con la moda e la mediana ;

µ &mi