2004 - Liceo Scientifico di ordinamento

Sessione ordinaria LS_ORD 2004: soluzione di De Rosa Nicola

Soluzione

1)

= − 3

Studiamo la funzione f ( x ) 2 x 3 x

Dominio: la funzione è definita in tutto R; ( ) 2

= − = − = = = ±

⇒

3 2

( ) 2 3 2 3 0 0

,

f x x x x x x x

Intersezione asse ascisse: ;

3

= → =

Intersezioni asse delle ordinate: x 0 y 0 ;

Parità o disparità: la funzione è dispari in quanto

− = − − − = − + = −

3 3

( ) 2 ( ) 3

( ) 2 3 ( )

f x x x x x f x ;

( )

= − = − >

3 2

Positività: f ( x ) 2 x 3 x x 2 3 x 0 la discutiamo col metodo del falso sistema, e

( )

− 2

cioè ponendo ambo i fattori x , 2 3 x maggiori di zero, e poi mettendo i risultati sulla stessa retta dei reali e vedendo il segno maggiore dove è soddisfatto, come rappresentato nella figura sottostante: 1

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   

( ) 2 2

   

= − = − > ∈ − ∞ − ∪

⇒

3 2 ;

Per cui f ( x ) 2 x 3 x x 2 3 x 0 x , 0

,

   

3 3

   

Asintoti verticali: non ce ne sono visto che il dominio è tutto R;

( ) ( )

− = − ∞ − = + ∞

3 3

lim 2 x 3 x , lim 2 x 3 x

Asintoti orizzontali: non ce ne sono: infatti ;

→ + ∞ → − ∞

x x

( )

− ( )

3

x x

2 3 = − = − ∞

2

Asintoti obliqui: non ce ne sono: infatti lim lim 2 3 x ;

→ ± ∞ → ± ∞

x

x x 2 2

= − ≥ − ≤ ≤

⇒

2

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è: f ' ( x ) 2 9 x 0 x per

3 3

 

2 2

−

 

cui la funzione è crescente in e decrescente altrove; la derivata seconda è

,

3 3

 

= − = =

⇒

f ' ' ( x ) 18 x 0 x 0 per cui (0,0) è un flesso. Inoltre

     

2 2 2 4 2

     

= − < − = > − −

per cui è un minimo

f ' ' 6 2 0

, f ' ' 6 2 0 ,

     

3 3 3 9

     

 

2 4 2

  è un massimo relativo.

relativo e ,

 

3 9

 

Il grafico è sotto presentato: 2

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2)

Le regioni richieste sono indicate nella figura sottostante:

4 2

< <

dove ovviamente 0 c , condizione da soddisfare affinché nel primo quadrante ci siano due intersezioni con la curva e quindi esistano due differenti regioni R ed S.

3)

Dobbiamo imporre h k

( ) ( )

∫ ∫

= − = − ⇔

⇒

A

( R ) A

( S ) c f ( x ) dx f ( x ) c dx

0 h

h k

( ) ( )

∫ ∫

− − − = ⇔

c f ( x ) dx f ( x ) c dx 0

0 h

h k

( ) ( )

∫ ∫

− + − = ⇔

c f ( x ) dx c f ( x ) dx 0

0 h

[ ]

k k

( )

∫ ∫

− = ⇔ − + =

3

c f ( x ) dx 0 c 2 x 3 x dx 0

0 0

k

 

3 3

− + = − + = ⇔

2 4 2 4

cx x x ck k k 0

 

 4 4

0

− + =

4 2

3

k 4 k 4 ck 0

≠ − + =

3

Ora poiché k 0 la condizione soprastante può essere scritta anche come 3

k 4 k 4 c 0 . 3

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= − + =

⇒ 3

Inoltre il punto B appartiene alla curva, cioè f ( k ) c 3

k 2 k c 0 . Quindi dobbiamo risolvere il sistema seguente: − + =

 3



3

k 4 k 4 c 0

 − + =

 3

3

k 2 k c 0

2

= .

c k

e sottraendo l’una dall’altra si trova facilmente 3

Ora sostituendo questo valore nella seconda equazione abbiamo:

 

2 4 4 2

− + = − = − = = = ±

⇒ ⇒

3 3 2

 

3 2 0 3 3 0 0

,

k k k k k k k k k

 

3 3 9 3

2

= = −

k 0

, k non sono accettabili perché forniscono in corrispondenza un valore

Ora le soluzioni 3

2 2 4

= = =

⇒

di c k negativo o nullo, per cui il valore accettabile è k c . Quindi il punto B ha

3 3 9

 

2 4

=  

coordinate .

B ,

 

9

3

L’altro punt di intersezione del primo quadrante, A, lo si trova allora dalla soluzione dell’equazione

4

− = − + =

⇒

3 3

2 x 3 x 27 x 18 x 4 0

9 2

= = = − 3

Ora ricordando, dal discorso appena fatto, che x k appartiene alla curva f ( x ) 2 x 3 x , si

3

può applicare Ruffini ed abbassare il grado dell’equazione a 2: infatti si ha:

( ) ( )

  ( )

2

− + = − + − = − + − =

⇒ ⇒

3 2 2

 

27 x 18 x 4 0 x 27 x 18 x 6 3 x 2 9 x 6 x 2 0

 

3 − ± − ±

2 3 3 3 1 3

= = =

x , x

3 9 3

− −

1 3

=

in cui la soluzione x , che rappresenta l’intersezione della retta con la curva nel

3

secondo quadrante, va scartata in quanto negativa. 4

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 

− + − +  

1 3 2 1 3 4 2 4

 

= = = =  

In conclusione x x , per cui

, e

A , B ,

 

A B  

3 3 3 9 3 9

 

4)

= − 3

Le equazioni della simmetria che trasformano f ( x ) 2 x 3 x nella sua simmetrica e viceversa, sono: =

 x ' x

 ( )

  

4 8

= − = − − 3

 

y ' 2 y 2 x 3 x

  

 9 9 8

= − +

3

3 2