2003 - liceo scientifico di ordinamento sessione straordinaria

Sessione straordinaria LS_ORD 2003. Soluzione di De Rosa Nicola

Problema 1

È assegnata la seguente equazione in x:

x³ + 2x − 50 = 0.

a) Dimostrare che ammette una e una sola soluzione nel campo reale.

b) Determinare il numero intero z tale che risulti: z < x < z + 1.

c) Dopo aver riferito il piano a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), determinare, se esistono, i valori del parametro reale k (k ≠ −1) per cui la curva C di equazione:

y = (x³ + 2x − 50) / (k + 1) + k(x³ + 2x − 75)

ammette un massimo e un minimo relativi.

d) Stabilire se esiste un valore di k per cui la curva C è simmetrica rispetto all’origine O.

e) Stabilire se fra le rette di equazione y = 5x + m, dove m è un parametro reale, ve ne sono di tangenti alla curva C ottenuta per k = 0.

Soluzione

1)

La funzione y = x³ + 2x − 50 è definita in tutto R e ammette i seguenti valori:

lim_{x → +∞}(x³ + 2x − 50) = +∞, lim_{x → −∞}(x³ + 2x − 50) = −∞.

Inoltre la sua derivata è y′ = 3x² + 2, che risulta essere sempre positiva in tutto R; quindi la funzione y = x³ + 2x − 50 è sempre crescente e tende a ±∞ quando x tende a ±∞, per cui essa intersecherà l’asse delle ascisse una sola volta, avrà cioè un unico zero. L’equazione corrispondente è:

y = x³ + 2x − 50 = 0.

2)

Per capire quale sia l’intervallo in cui cade l’unico zero, si può applicare il teorema degli zeri. In particolare, essendo f(3) = −17 < 0 e f(4) = 22 > 0, allora, per il teorema suddetto, l’unico zero si troverà all’interno dell’intervallo [3, 4].

3)

Riscriviamo la curva parametrica nel modo seguente:

C: y = (1 + k)(x³ + 2x) − 25 − 3k.

La derivata sarà pari a: y′ = 3(1 + k)x² + 2(1 + k) = (1 + k)(3x² + 2), per cui, se k + 1 > 0, la derivata sarà sempre positiva e la funzione è sempre crescente, mentre se k + 1 < 0, la derivata sarà sempre negativa e la funzione sarà decrescente. Per cui non esiste alcun valore del parametro per cui la funzione presenti un massimo ed un minimo relativo.

4)

La curva C: y = (1 + k)(x³ + 2x) − 25 − 3k è simmetrica rispetto all’origine se:

y(x) = −y(−x)

e quindi se:

(1 + k)(x³ + 2x) − 25 − 3k = (1 + k)(x³ + 2x) + 25 + 3k.

Da cui:

(1 + k)(x³ + 2x) − 25 − 3k = (1 + k)(x³ + 2x) + 25 + 3k

e questa equazione vale se e solo se:

−25 − 3k = 25 + 3k ⇔ −50 = 6k ⇔ k = −25/3.

In tal caso la curva sarà:

y = −(2/3)(x³ + 2x).

Studiamo tale curva:

Dominio: tutto R.

Intersezioni con l’asse delle ascisse: y = 0 ⇔ x³ + 2x = 0 ⇔ x(x² + 2) = 0 ⇔ x = 0.

Intersezione con l’asse delle ordinate: x = 0 ⇒ y = 0; (0, 0).

Parità o disparità: la funzione, come dimostrato, è dispari essendo simmetrica rispetto all’origine.

Positività: y = −(2/3)(x³ + 2x) = −(2/3)x(x² + 2) > 0 ⇔ x < 0.

Asintoti verticali: non ce ne sono, visto il dominio di definizione.

Asintoti orizzontali: non ce ne sono dal momento che:

lim_{x → ±∞} −(2/3)(x³ + 2x) = ±∞.

Asintoti obliqui: non ce ne sono, visto che la funzione cubica è definita in tutto R.

Crescenza e decrescenza: abbiamo dimostrato precedentemente che per la funzione y = x³ + 2x la derivata era sempre crescente. Ora, essendo y′ = −(2/3)(3x² + 2) < 0, la funzione è sempre decrescente.

Inoltre la derivata seconda è y″ = −4x = 0 ⇔ x = 0, per cui l’origine (0, 0) è un flesso per la cubica.

Il grafico è sotto presentato:

5)

La curva C ha equazione y = x³ + 2x − 50. Una eventuale sua tangente ha equazione del tipo y = m(x − x₁) + y₁, dove (x₁, y₁) è il punto di tangenza.

Nel caso in esame, il coefficiente angolare m₁ è pari al valore della derivata nell’ascissa del punto di tangenza, per cui:

m₁ = 3x₁² + 2.

Per cui la retta di equazione y = 5x + m è tangente alla curva C: y = x³ + 2x − 50 se e solo se:

3x₁² + 2 = 5 ⇔ 3x₁² = 3 ⇔ x₁ = ±1.

Quindi gli eventuali punti di tangenza sono:

A = (1, −47), B = (−1, −53).

A questo punto i corrispondenti valori del parametro m che rendono la retta y = 5x + m tangente alla curva C: y = x³ + 2x − 50 saranno:

m = −47 − 5 = −52;

m = −53 + 5 = −48.

Quindi le rette tangenti sono:

s: y = 5x − 52;

t: y = 5x − 48.

Problema 2

La base minore, la base maggiore e il perimetro di un trapezio isoscele misurano nell’ordine:

6 cm, 10 cm, 4 + 4√5 cm.

a) Dire, giustificando la risposta, se il trapezio è circoscrittibile a una circonferenza.

b) Spiegare perché il trapezio è inscrittibile in una circonferenza k.

c) Dopo aver riferito il piano del trapezio a un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali, trovare l’equazione di k.

d) Trovare l’equazione della parabola p passante per gli estremi della base minore del trapezio e avente l’asse perpendicolare a tale base e il vertice nel centro di k.