2003 - Liceo scientifico - america emisfero boreale

Sessione ordinaria LS_ORD 2003 America Boreale Soluzione di De Rosa Nicola

Esame di stato: indirizzo scientifico

Sessione ordinaria 2003

Seconda prova scritta

Tema di matematica

(America emisfero boreale)

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 dei 7 quesiti in cui si articola il questionario:

Problema 1

In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:

y = (kx³ + 9x)/(x² + k),

dove k è un parametro reale non nullo.

1. Determinare a quali valori di k corrispondono curve continue su tutto l'asse reale.
2. Dimostrare che le curve assegnate hanno tre punti in comune.
3. Dimostrare che i tre punti sono allineati.
4. Tra le curve assegnate determinare la curva avente per asintoto la retta di equazione y = x e disegnarne l'andamento.
5. Verificare che i tre punti comuni a tutte le curve assegnate sono flessi per la curva.

Problema 2

Dopo aver riferito il piano ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy):

1. Tra le iperboli di equazione xy = k indicare con j quella che passa per il punto A(1,3) e chiamare B il suo punto di ascissa -3.
2. Determinare i coefficienti dell'equazione y = ax² + bx + c in modo che la parabola p rappresentata da essa sia tangente a j in A e passi per B.
3. Determinare le coordinate del punto situato sull'arco AB della parabola p e avente la massima distanza dalla retta AB.
4. Indicata con R la regione finita di piano delimitata dall'iperbole j, dalla parabola p, dall'asse x e dalla retta di equazione x = 3, calcolare il volume del solido generato dalla regione R quando ruota di un giro completo intorno all'asse x.

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Soluzione di De Rosa Nicola

Questionario

1. Le ampiezze degli angoli di un triangolo sono, , . Sapendo che cos = 5/13 e cos = 5/12, calcolare il valore esatto di cos, specificando se il triangolo è rettangolo, acutangolo o ottusangolo.

2. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva di equazione y = cos x - 2 sen x. Determinare una traslazione degli assi che trasformi l'equazione nella forma Y = k sen X.

3. Un trapezio è circoscrivibile ad un cerchio. Dimostrare che il triangolo avente per vertici il centro del cerchio e gli estremi di uno dei lati obliqui è un triangolo rettangolo.

4. x ed y sono due numeri naturali qualsiasi tali che x - y = 1. Stabilire se il numero x⁴ - y⁴ è divisibile per 2 o se non lo è.

5. Determinare il campo di esistenza della funzione:

   ln ((x - 1)(x - 2)(x - 3) / (x + 1)(x + 2)(x + 3)).

6. La funzione reale di variabile reale f(x) è derivabile in ogni x per cui risulti 1.0 x 1.1; inoltre f(1.1) = 0 e 1.0 f'(x) 1.1 in ogni x dell'intervallo 1.0 < x 1.1. Dimostrare che risulta: -0.11 f(1.0) -0.10.

7. Sia f(x) una funzione continua e non negativa nell'intervallo chiuso e limitato a x b, rappresentata graficamente in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy). Indicata con R la regione finita di piano delimitata dal grafico della funzione, dall'asse x e dalle rette x = a e x = b, dimostrare che il volume V del solido generato dalla regione R quando ruota di un giro completo intorno all'asse x è dato dalla formula seguente:

   V = [f(x)]² dx

• Durata della prova: 6 ore.
• Non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.
• È consentito l'uso della calcolatrice non programmabile.

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Soluzione di De Rosa Nicola

Problema 1

In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:

y = (kx³ + 9x)/(x² + k),

dove k è un parametro reale non nullo.

Punto a

Determinare a quali valori di k corrispondono curve continue su tutto l'asse reale.

La funzione y = (kx³ + 9x)/(x² + k) ha come dominio x in R: (x² + k) != 0, per cui essa è definita su tutto l'asse reale se e solo se k > 0. Infatti se fosse k <= 0 il dominio sarebbe (-infinito, -sqrt(-k)) U (-sqrt(-k), sqrt(-k)) U (sqrt(-k), +infinito), cioè R - {+-sqrt(-k)}.

Punto b

Dimostrare che le curve assegnate hanno tre punti in comune.

La funzione in esame, supponendo (x² + k) != 0, può così essere riscritta:

(x² + k)y - kx³ - 9x = 0 da cui k(y - x³) + x²y - 9x = 0 da cui si ricavano le due condizioni