2002 - Liceo scientifico di ordinamento - problema 1 sessione straordinaria

Sessione straordinaria 2002

Problema 1

Con riferimento ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy):

• Scrivere l’equazione della circonferenza k con centro nel punto (8, 2) e raggio 6 e calcolare le coordinate dei punti M ed N in cui la bisettrice b del 1° e 3° quadrante interseca la curva;
• Scrivere l’equazione della parabola p avente l’asse parallelo all’asse delle ordinate, tangente all’asse delle ascisse in un punto del semipiano x > 0 e passante per i punti M ed N;
• Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dalla parabola p e dalla bisettrice b;
• Dopo aver stabilito che la circonferenza k e la parabola p non hanno altri punti in comune oltre ad M ed N, calcolare le aree delle regioni in cui il cerchio delimitato da k è diviso dalla parabola.

Soluzione di De Rosa Nicola

La circonferenza richiesta, dati il centro ed il raggio, ha equazione:

(x − x_C)² + (y − y_C)² = R²

(x − 8)² + (y − 2)² = 36 ⇔ x² + y² − 16x − 4y + 32 = 0

x² − 16x + 32 = 0 → x = 8 ± 4√2

Tale circonferenza incontra l’asse delle ascisse nei punti per cui y = 0, mentre non incontra mai l’asse delle ordinate visto che x = 0.

Le intersezioni con la bisettrice del primo e terzo quadrante di equazione y = x si ricavano risolvendo il sistema seguente:

x² + y² − 16x − 4y + 32 = 0
y = x

⇔ 2x² − 20x + 32 = 0 ⇔ x² − 10x + 16 = 0 ⇔ x = 5 ± 3

y = x

Per cui i punti di intersezione sono M (2, 2), N (8, 8).

Ora l’equazione generica della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate è:

p: y = ax² + bx + c

Tale parabola passa per i punti M (2, 2), N (8, 8), e la terza condizione è che sia tangente all’asse delle ascisse in un punto con ascissa positiva. Ora, poiché la parabola ha asse parallelo all’asse delle ordinate, allora essa può essere tangente all’asse delle ascisse solo nel suo vertice, per cui questo significa che l’ordinata del vertice deve essere nulla e l’ascissa deve essere positiva, visto che si richiede la tangenza in un punto ad ascissa positiva.