1999 - Liceo scientifico di ordinamento - problema 2

Quesito 2 maturità 1998/1999: soluzione Dide Rosa Nicola

In un piano sono assegnate una circonferenza k di raggio di lunghezza data r ed una parabola p passante per gli estremi A, B di un diametro di k e avente come asse di simmetria l'asse del segmento AB. L'area del segmento parabolico delimitato dalla parabola p e dal segmento AB è ⁸/₃ r².

Dopo aver riferito il piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy):

1. Determinare l'equazione della circonferenza k;
2. Determinare l'equazione della parabola p;
3. Trovare le coordinate dei punti comuni a k e p;
4. Calcolare le aree delle regioni piane in cui la parabola p divide il cerchio delimitato da k;
5. Stabilire per quale valore di r la maggiore di tali aree è uguale a ^{32 + 22 - 15}/₃ cm².

Soluzione

Disegno illustrativo

y

V

S2

D

C

S1

x

A

0

B

Il sistema di riferimento più semplice è quello con origine in (0,0) come in figura.

1)

Con tale disegno illustrativo, la circonferenza ha centro in (0,0) e raggio r. Per cui l'equazione della circonferenza è:

x² + y² = r²

2)

La parabola p di equazione y = ax² + bx + c ha come asse di simmetria l'asse del segmento di AB.

Tale asse del segmento ha equazione x=0 e ricordando le formule dell'asse di simmetria per una parabola una prima condizione da imporre è:

-b/(2a) = 0 => b = 0

Il passaggio per A=(-r,0) e B=(0,r) impone una stessa condizione e cioè:

ar² + c = 0 => c = -ar²

Da cui l'equazione diventa:

y = a(x² - r²)

L'ultima condizione è sul segmento parabolico di area assegnata che comporta:

integral_-r^r a(x² - r²)dx = 8/3 r² => a[x³/3 - xr²]_-r^r = 2a[r³/3 - r³] = -a 4r³/3 = 8/3 r² => a = -2/r

Da cui:

y = -2/r x² + 2r

3)

Le coordinate dei punti comuni si trovano dalla risoluzione del seguente sistema:

x² + y² = r²

y = -2/r x² + 2r

=> x² + (-2/r x² + 2r)² = r² => (x² - r²)(4x² - 6r²) = 0 =>

A = (-r,0), B = (r,0), C = (r sqrt(3)/2, r/2), D = (-r sqrt(3)/2, r/2)

4)

S₁ = S₂ per simmetria

Nel primo quadrante, se scriviamo l'equazione della circonferenza in forma esplicita, otteniamo y = sqrt(r² - x²)

Ed S₁ risulta essere pari a:

S₁ = integral_{r sqrt(3)/2}^r [sqrt(r² - x²) - (-2/r x² + 2r)]dx = integral_{r sqrt(3)/2}^r [sqrt(r² - x²)]dx + integral_{r sqrt(3)/2}^r [-(-2/r x² + 2r)]dx

Ora:

∫_r√3/2^r [√(r² - x²)] dx lo risolviamo con la sostituzione x = r sin θ ⇒ dx = r cos θ dθ e gli estremi di integrazione

Dal momento che stiamo nel primo quadrante diventano:

x = r√3/2 ⇒ θ = π/3

x = r ⇒ θ = π/2

Per cui:

∫_r√3/2^r [√(r² - x²)] dx = ∫_π/3^π/2 [r cos θ√(r² - (r sin θ)²)] dθ = r² ∫_π/3^π/2 (cos θ)² dθ = r² ∫_π/3^π/2 ((1 + cos 2θ)/2) dθ =

r² [θ/2 + sin 2θ/4]_π/3^π/2 = r² (2π - 3√3)/24

Invece:

∫_r√3/2^r [-( -2/r x² + 2r)] dx = [2x³/(3r) - 2rx]_r√3/2^r = [2r²/3 - 2r² - √3/4 r² + √3r²] = r² [-4/3 + 3√3/4] = r² (18√3 - 32)/24

In conclusione:

S₁ = r² (2π - 3√3)/24 + r² (18√3 - 32)/24 = r² (2π + 15√3 - 32)/24

S₁ + S₂ = 2r² (2π + 15√3 - 32)/24 = r² (2π + 15√3 - 32)/12

L'altra area, quella più grande, è allora:

S₃ = πr² - r² (2π + 15√3 - 32)/12 = r² (10π - 15√3 + 32)/12

5)

Imponiamo la condizione:

r² (10π - 15√3 + 32)/12 = (22π - 15√3 + 32)/3 ⇒

r = 2√[(22π - 15√3 + 32)/(10π - 15√3 + 32)] cm