2001 - liceo scientifico - sperimentazioni autonome - sessione suppletiva

Sessione suppletiva Sperimentazioni Autonome 2001 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

SPERIMENTAZIONI AUTONOME 1

SECONDA PROVA SCRITTA

Tema di MATEMATICA

PROBLEMA 1

Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x, y), si consideri il luogo

ˆ

γ

geometrico dei punti P che vedono il segmento di estremi A(0, 1) e B(2, 1) sotto un angolo A

P

B

π e se ne disegni il grafico.

di ampiezza 4 > =

1 si tracci la retta , se ne indichino con C e D le eventuali

Nel semipiano delle ordinate y y k

γ e con C’ e D’ le loro proiezioni ortogonali su AB. Si determinino i valori di k

intersezioni con

che rendono massime rispettivamente le seguenti grandezze:

a) il lato obliquo del trapezio isoscele ABDC;

b) la diagonale del rettangolo CDD’C’;

c) il cilindro generato dalla rotazione di CDD’C’ attorno all’asse del segmento AB.

PROBLEMA 2

Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x, y), si consideri la funzione:

+

3

x a

=

y ( ) 2

+

x b γ

• si determinino e in modo che il grafico della curva che ne risulta passi per il punto

a b

( ) = −

e abbia per asintoto la retta ;

2

, 0 1

P x

• si scriva l’equazione dell’asintoto obliquo t; γ γ

• α

si determini l’angolo che t forma con la tangente a nel punto di intersezione tra e t

+

3

x a

• =

si tracci il grafico di: y ( ) 2

+

x b 1

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QUESTIONARIO

Il rapporto delle aree laterali di due coni aventi basi uguali è uguale al rapporto degli apotemi

1.

mentre il rapporto dei loro volumi è uguale al rapporto delle altezze.

Verificare, ricorrendo direttamente alla definizione, che:

2. 1 = +∞

lim 2

→ 0 x

x

Enunciare il teorema del e utilizzarlo per dimostrare che:

valor medio o di Lagrange

3. − ≤ −

sin sin

b a b a

2 x

Di una funzione si sa che: , e che ha derivata seconda uguale a .

f(x) f(0) = (1/log2) f’(0)=0 2

4.

Si può dire quanto vale f(x)?

Calcolare la derivata della funzione:

5. ( )

( ) = − − 2

2 arcsin arccos 1 2

f x x x

( ) ?

Quali conclusioni se ne possono trarre per la f x

Dimostrare che:

6. π π

∫ =

2

sin xdx 2

0

Calcolare, con uno dei metodi numerici studiati, un valore approssimato della radice

7. ( )

− − =

dell’equazione: log 2 0

x x

Tenuto conto che è:

8. π 1 dx

∫

= + 2

4 1 x

0

π

calcolare con 3 cifre decimali esatte utilizzando una formula d’integrazione approssimata.

Tra 15 videogiochi di cui 5 difettosi se ne scelgono 3 a caso. Determinare la probabilità che

9.

a) nessuno dei tre sia difettoso;

b) almeno uno dei tre non sia difettoso 2

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Un solido viene trasformato mediante una similitudine di rapporto 3. Dire come variano il suo

10.

volume e l’area della sua superficie.

La prova richiede lo svolgimento di uno dei due problemi proposti e le risposte a cinque domande

scelte all’interno del questionario.

__________________________

Durata massima della prova : 6 ore

E’ consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile e la consultazione del vocabolario

d’Italiano. 3

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PROBLEMA 1

Punto 1

Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x, y), si consideri il luogo

γ

geometrico dei punti P che vedono il segmento di estremi A(0, 1) e B(2, 1) sotto un angolo

ˆ π 4

A

P

B di ampiezza e se ne disegni il grafico.

Si consideri la figura sottostante: − − 1

1

y y

= =

Il coefficiente angolare della retta AP è mentre quello della retta PB è .

m m −

AP PB 2

x x

Ricordiamo che date due rette la tangente dell’angolo tra di esse è data dalla formula

− −

1 1

y y

−

π

− ⎞

⎛

' −

( ) m m 2

x x

α = =

⎟

⎜

tan e nel nostro caso si ha da cui

tan −

−

+ ⋅ ⎞

⎛

⎞

⎛ 1 1

1 ' 4 ⎠

⎝ y y

m m ⋅

+ ⎟

⎜

⎟

⎜

1 − 2 ⎠

⎝

⎠

⎝ x x

( )

− −

2 1

y ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 2

− − − − + − −

− 1 1

2 1 1 1

2 y y x y

x x = = = ⇔ = ⇔

2

2 1 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −

2 2 2 2

− − + − − + − − 1

1 2 1 1 1 1 y

y x x y x y

+

1 ( )

− 2

x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎧ ⎧

2 2 2 2

− + − − = − ≥ − + − = ≥

1 1 1 2 1 se 1 1 2 2 se 1

⎪ ⎪

x y y y x y y

⇔ ⇔

⎨ ⎨

( ) ( ) ( ) ( )

⎪⎩ ⎪⎩

2 2 2

− + − − = − − < − + = <

2

1 1 1 2 1 se 1 1 2 se 1

x y y y x y y ( )

= e raggio

Quindi il luogo geometrico descritto da P è dato dalla circonferenza di centro 1

, 2

C

1

( )

≥ <

= 1

, 0

se 1 , e dalla circonferenza di centro e raggio se 1 . Si può anche

2 2

C

y y

2

procedere in maniera alternativa. Ad esempio l’area del triangolo APB è

4

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π

⎛ ⎞

1 1

( )

( ) = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⎜ ⎟ . Con le convenzioni usate si

ed è anche uguale a

sin

S APB AP PB S APB AB h

2 4 2

⎝ ⎠

ha: ( ) 2

= + −

2 1

AP x y

( ) ( )

2 2

= − + −

2 1

PB x y

= − 1

h y

= 2

AB

per cui π

⎛ ⎞

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + − ⋅ − + −

2

⎜ ⎟

sin 1 2 1

S APB AP PB x y x y

2 4 4

⎝ ⎠

1

( ) = ⋅ ⋅ = − 1

S APB AB h y

2

Imponendone l’uguaglianza si ha:

2 ( ) ( ) ( )

2 2 2

⋅ + − ⋅ − + − = − ⎯

⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯

→

Elevando al quadrato

2 1 2 1 1

x y x y y

4

[ ] [ ]

1 ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

+ − ⋅ − + − = − ⇔

2 1 2 1 1

x y x y y

8

[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 4 2

− + + − − + − − − = ⇔

2 2

2 2 1 1 8 1 0

x x x x y y y

[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 4

− + + − − − + − = ⇔

2 2

2 2 8 1 1 0

x x x x y y

[ ]

( )

( ) ( ) ( )

2 2 4

− + − − − + − = ⇔

2 2

2 2 2 2 1 1 0

x x x x y y ( ) ( )

⎧

[ ] [ ] 2 2

− + − =

1 2 2

⎪⎨ x y

( ) ( ) ( )

2 2 2

− + − − ⋅ − + − = ⇔

2

1 2 2 1 2 0

x y x y ( )

⎪⎩ 2

− + =

2

1 2

x y

Il grafico seguente mostra il luogo geometrico. 5

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Punto 2a > =

1

y y k

Nel semipiano delle ordinate si tracci la retta , se ne indichino con C e D le

γ e con C’ e D’ le loro proiezioni ortogonali su AB.

eventuali intersezioni con

Si determinino i valori di k che rendono massime rispettivamente le seguenti grandezze:

il lato obliquo del