2000 - Liceo scientifico PNI - problema 3 - maturità matematica

A 2 0 0 0 Esame di stato – Corsi sperimentali del Piano nazionale Informatica (PNI) –

N

N

O

Sessione ordinaria - Problema n. 3

Assegnata la funzione

= ⋅ + ⋅

2

f ( x ) a log x b log x

Dove il logaritmo si intende in base e, il candidato:

a) Determini per quali valori di a e b la f(x) ha un minimo relativo nel punto

⎛ ⎞

1

−

⎜ ⎟ ;

e ;

⎝ ⎠

4

b) Disegni la curva grafico della funzione per i valori a e b così ottenuti e calcoli

l’area della regione finita da essa delimitata con l’asse x.

Calcoli infine la probabilità che lanciando un dado cinque volte, esca per tre volte lo stesso numero.

Soluzione

Osservazione

La funzione assegnata dipende da due parametri soltanto. Nel quesito a) si richiede di imporre

che siano soddisfatte tre condizioni. Infatti,

1. la curva rappresentativa del grafico della funzione deve passare per il punto

⎛ ⎞

1

−

⎜ ⎟ ;

e ;

⎝ ⎠

4 =

2. se per x e vi deve essere un minimo è necessario che nel punto si annulli la

derivata prima ma questa condizione non è sufficiente ad assicurare che la

funzione vi abbia un minimo;

3. affinché nel punto si abbia un minimo relativo è necessario imporre un’ulteriore

( ) >

condizione ( per esempio, che si abbia f '' e 0 .

Il problema dunque non è ben posto. Vedremo, tuttavia, che imponendo la condizione di

⎛ ⎞

1

−

⎜ ⎟

e ; e che si annulli la derivata prima nel punto

passaggio della curva per il punto ⎝ ⎠

4

=

x e i valori dei due parametri resteranno univocamente determinati e che la funzione

=

x e un minimo relativo,

ottenuta in corrispondenza agli stessi ha effettivamente nel punto

anzi il minimo sarà assoluto.

La condizione di passaggio della curva dal punto è rappresentata dalla condizione

a) ( ) 1

= −

f e che diventa

4 1 1 1 1

+ = − →

+ ⋅ = − → + = −

2 a 2

b 1

a log e b log e a b

4 =

Imponiamo che la derivata prima si annulli nel punto x e

+

( )

1 1 a b

= ⋅ + ⋅ → = =

f x a x b f ' e 0

'( ) 2 log x x e

Risolvendo il sistema formato dalle due equazioni ottenute

+ = −

⎧ a 2

b 1 =

⎧

⎪ a 1

+

⎨ ⎨

si ricavano i valori

a b = = −

⎩

0 b 1

⎪

⎩ e

L’espressione analitica della funzione in esame è Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it

= −

2

f ( x ) log x log x

Studio della funzione