Matematica PNI - Maturità 2013

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2013

Seconda prova scritta

Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca

Y557 – Esame di Stato di liceo scientifico

Corso sperimentale

Indirizzo: Piano nazionale informatica

Tema di: Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

Problema 1

+ ∞

0

,

Una funzione f(x) è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in

e di f(x) e della sua derivata seconda f''(x). La tangente

e nella figura sono disegnati i grafici Γ Λ ( ) = =

0

; 0

a nel suo punto di flesso, di coordinate (2

; 4

), passa per, mentre le rette y = 8 e y = 0 sono

Γ

asintoti orizzontali per Γ e Λ, rispettivamente.

Γ Λ

Si dimostri che la funzione f'(x), ovvero la derivata

1) prima di f(x), ha un massimo e se ne determinino le

x

coordinate. Sapendo che per ogni x del dominio è:

≤ ≤

f''(x) f'(x) f(x), qual è un possibile andamento

di f'(x)?

2) Si supponga che f(x) costituisca, ovviamente in

opportune unità di misura, il modello di crescita di un

certo tipo di popolazione. Quali informazioni sulla sua

evoluzione si possono dedurre dai grafici in figura e in

particolare dal fatto che presenta un asintoto

Γ

orizzontale e un punto di flesso? a

= = = .

f(x), si provi che

3) Se Γ è il grafico della funzione a = 8 e b = 2

Γ −

+ bx

1 e x

4) Nell’ipotesi del punto 3), si calcoli l’area della regione di piano delimitata da Λ e dall’asse

[ ]

0

, 2

sull’intervallo.

Problema 2

= 3

x

f f x x x

Sia la funzione definita per tutti gli x positivi da f(x) = x³ ln x.

1. Si studi e si tracci il suo grafico su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani

γ

Oxy

ortogonali e monometrici; accertato che presenta sia un punto di flesso che un punto di

γ

minimo se ne calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le ascisse arrotondate alla terza cifra

decimale. x

2. Sia P il punto in cui γ interseca l’asse x. Si trovi l’equazione della parabola, con asse parallelo

γ

y

all’asse y, passante per l’origine e tangente a γ in P.

γ ] ]

x 0

, 1

3. Sia R la regione delimitata da γ e dall’asse y sull’intervallo aperto a sinistra 0, 1. Si calcoli

γ.

2

mm avendo supposto l’unità

l’area di R, illustrando il ragionamento seguito, e la si esprima in decimetro

di misura lineare pari a 1.