1994 - problema 3 corso di ordinamento

Sessione ordinaria 1994 Liceo di ordinamento Soluzione di De Rosa Nicola

3)

Considerato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, indicare con D il piede della sua altezza condotta per C e costruire il triangolo ECD, isoscele sulla base CD e simile a quello

=

BC 4

dato, in modo che il punto E cada dalla stessa parte di A rispetto a BC. Sia e

=

CD 2 3 . ^

a) Dimostrare che l'angolo è retto.

ECB

b) Riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali, trovare l'equazione della circonferenza K passante per i punti A, C, D.

c) Spiegare perché K passa pure per E.

d) Detto F il punto in cui K seca ulteriormente CB, calcolare le aree delle due regioni piane in cui il minore degli archi DF di K divide il quadrilatero ABCE.

a)

Consideriamo la figura seguente:

Il lato BD del triangolo rettangolo BDC è per il teorema di Pitagora:

= − = − = =

2 2

BD BC DC 16 12 4 2

Inoltre sfruttando la trigonometria applicata allo stesso triangolo si può affermare che:

π π

( ) ( ) BD 1

α α α α

= → = = → = → = = = =

° °

BD BC B

C A B

A

C C B

A

sin sin 2

BC 2 6 3

Per cui il triangolo ABC è equilatero.

Poiché il triangolo DEC è simile al triangolo ABC allora sarà anch’esso equilatero per cui

π π π π

α

= = = → = + = + =

° °

° ° °

D

E

C D

C E E

D

C E

C B D

E

C

3 3 6 2

b)

1

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Innanzitutto si osserva che il triangolo ADC è anch’esso rettangolo dal momento che

π π π

π π

= − − = − − =

° °

°

A

D

C D

A

C D

C A quindi esso è inscrivibile in una semicirconferenza col

3 6 2

diametro pari all’ipotenusa. Quindi per fare in modo che i punti A,C e D appartengano alla circonferenza dobbiamo scegliere il sistema di riferimento in modo che la circonferenza abbia come diametro l’ipotenusa AC.

Questa considerazione ci induce a scegliere allora come sistema di riferimento un sistema che abbia il centro nel punto medio dell’ipotenusa AC del triangolo ADC. Con queste considerazioni, il

AC = e la sua equazione sarà allora:

raggio della circonferenza sarà pari ad AO= 2

2

+ = =

2 2 2

x y r 4

c)