1992 - problema 1 PNI

Luigi Lecci – 15/02/2005 – Liceo Scientifico “G. Stampacchia” - Tricase (LE) – 0833-544020

Maturità scientifica P.N.I. 1992 – Q.1

In un piano cartesiano ortogonale Oxy si considerino le parabole C e C’ di equazione

rispettivamente: y - x² = 0 e y² + 8x - 6y – 3 = 0.

1) Si verifichi che C e C’ sono tangenti in A(1;1) e che hanno in comune un ulteriore punto B.

2) Detto P un punto della retta AB, sia QQ’ la corda intercettata da C sulla parallela per P all’asse delle ascisse, RR’ la corda intercettata da C’ sulla parallela per P all’asse delle ordinate ed S la proiezione di P sulla retta y + 2 = 0.

Si studi come varia il rapporto 8 PS al variare di P, determinando in particolare il suo valore minimo.

Si calcoli l’area della regione finita di piano delimitata dalle parabole C e C’. Σ

3) Detta la regione finita di piano delimitata dalle due parabole, si conduca per A una retta u che incontra l’asse delle y in D ed il contorno di Σ, oltre che nel punto A, nell’ulteriore punto E.

Si consideri la funzione f(m) = AE/AD, essendo m il coefficiente angolare della retta u, e la si studi determinandone in particolare il massimo relativo ed il minimo assoluto.

Soluzione

1) Curve tangenti

Le curve C, C’ sono due parabole.

C: y - x² = 0 ha asse di simmetria coincidente con l’asse delle ordinate, vertice nell’origine degli assi e concavità rivolta verso l’alto.

C’: y² + 8x - 6y - 3 = 0 ha asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse, vertice nel punto V e concavità rivolta nel verso negativo dell’asse x.

Per verificare che le curve sono tangenti nel punto A(1;1) ci sono due possibilità.

• Scrivere l’equazione della retta tangente a ciascuna curva nel punto A e verificare che rappresentano la stessa retta.
• Risolvere il sistema formato dalle equazioni delle curve e verificare che la soluzione x = 1, y = 1 è almeno doppia.

Seguendo il primo procedimento si verifica che la retta t: y = 2x - 1 è effettivamente tangente comune alle due curve.

Seguendo il secondo procedimento, una volta impostato il sistema di equazioni

y - x² = 0

y² + 8x - 6y - 3 = 0

si ricava l’equazione risolvente di quarto grado

x⁴ - 6x² + 8x - 3 = 0.

Applicando la regola di Ruffini, si esegue la divisione ottenendo

(x⁴ - 6x² + 8x - 3) : (x - 1) = Q₁(x) = x³ + x² - 5x + 3.

Si può ancora eseguire la divisione

(x³ + x² - 5x + 3) : (x - 1) = Q₂(x) = x² + 2x - 3

ottenendo come quoziente. In definitiva l’equazione in esame si può scrivere nella seguente forma:

(x - 1)²(x² + 2x - 3) = 0

dalla quale emerge che x = 1 è soluzione doppia e ciò è sufficiente per concludere che le due curve sono tangenti nel punto A(1;1).

In realtà, il polinomio al primo membro dell’equazione è divisibile per (x - 1)³ e quindi l’equazione si può scrivere nella seguente forma:

(x - 1)³(x + 3) = 0.

x = 1 è radice con molteplicità tre e quindi il punto A(1;1) raccoglie tre intersezioni delle quattro tra le due curve.

L’ulteriore punto comune è B(-3;9).

Il tutto è rappresentato in Fig.1.

2) Studio del rapporto e area della regione

L’equazione della retta [A;B] è:

[A;B]: y = -2x + 3.

Il generico punto P della retta [A;B] ha coordinate (α; 3 - 2α).

Dal contesto del problema si evince che il punto P deve essere tale che le due rette passanti per esso e parallele agli assi coordinati devono intersecare le due parabole C, C’ in oggetto e dunque devono essere verificate le due seguenti disuguaglianze:

y_P ≥ y_V1 = 3 - 2α ≥ 0

affinché la retta per P parallela all’asse delle ascisse intersechi la parabola C;

x_P ≤ x_V2

affinché la retta per P parallela all’asse delle ordinate intersechi C’.

Le due condizioni geometriche forniscono la stessa condizione algebrica.

Coordinate dei punti Q, Q’

Indicando con s la retta per P parallela all’asse delle ascisse si ha:

s: y = 3 - 2α.

Per trovare le coordinate dei punti Q, Q’ si deve mettere a sistema l’equazione di questa retta con l’equazione della parabola C.

s: y = 3 - 2α