1988 - problema 2

Maturità scientifica 1988, sessione ordinaria - Problema 2

Soluzione a cura di Francesco Daddi.

Testo del problema

2) In un piano cartesiano ortogonale Oxy sono dati i punti A(−1; 0), B(3; 0), C(0; 3). Si consideri la trasformazione:

X = 2x − 2;

Y = y + 1 / 2.

Siano A′, B′, C′ i punti trasformati di A, B, C. Si verifichi che i triangoli ABC e A′B′C′ sono equivalenti.

Considerata la parabola γ, con asse parallelo all’asse delle ordinate e passante per A, B, C, e la retta r per A parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante, e dette γ′ ed r′ le corrispondenti di γ e r nella trasformazione assegnata, si verifichi che anche le regioni finite di piano delimitate rispettivamente da γ ed r e da γ′ ed r′ sono equivalenti.

Soluzione

Determiniamo le immagini dei punti A, B e C:

A: X = 2(−1) − 2 = −4, Y = (0 + 1) / 2 = 1/2;

B: X = 2 · 3 − 2 = 4, Y = (0 + 1) / 2 = 1/2;

C: X = 2 · 0 − 2 = −2, Y = (3 + 1) / 2 = 2.

L’equazione della parabola passante per i punti A, B, C si ottiene osservando che, passando per i punti A e B, deve essere della forma:

y = a(x + 1)(x − 3).

A questo punto è sufficiente imporre il passaggio per il punto C(0; 3):

3 = a · (0 + 1) · (0 − 3) ⇒ a = −1.

Da cui ricaviamo l’equazione della parabola:

y = −(x + 1)(x − 3) = −x² + 2x + 3.

La retta per A parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante ha, ovviamente, equazione:

y = x + 1.

Determiniamo ora le equazioni delle curve trasformate; per far ciò abbiamo bisogno delle equazioni della trasformazione inversa:

x = (X + 2) / 2;

y = 2Y − 1.

La curva γ ha equazione:

y = −(x + 1)(x − 3).

Sostituendo le equazioni della trasformazione inversa, si ottiene:

2Y − 1 = −((X + 2) / 2 + 1)((X + 2) / 2 − 3).

Quindi:

2Y − 1 = −(X + 4)(X − 4) / 4 = −X² / 4 + 4,

e pertanto:

Y = −X² / 8 + 5/2.