1997 - Problema 2 sessione suppletiva

Maturità scientifica

L. Lecci, Ottobre 2004

Sessione suppletiva 1997

Quesito n. 2 = AB 2 a detta

Data una semicirconferenza di centro O e diametro si tracci la tangente t alla semicirconferenza nel punto A. Preso un punto P sulla semicirconferenza si tracci la perpendicolare PH alla retta t.

Dimostrare che la semiretta PA è bisettrice dell’angolo HPO.

Posto PH = x, esprimere in funzione di x l’area y del quadrilatero AOPH. Determinare per quale valore di x l’area y = f(x) è massima.

Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione della curva, che rappresenta la funzione y = f(x), attorno all’asse delle x sapendo che 0 ≤ x ≤ 2.

Soluzione

Proviamo che AP è bisettrice dell’angolo OPH.

Osservando la figura riportata a lato si deduce che gli angoli HPA, PAO sono uguali perché coppia di angoli alterni interni ottenuti dalle rette parallele [H;P], [A;B] tagliate dalla trasversale [A;P]. D’altra parte si osserva che il triangolo AOP è isoscele sulla base AP, perché AO = OP, e quindi anche l’angolo OPA è uguale all’angolo PAO. Per transitività si deduce l’uguaglianza degli angoli HPA, APO.

⇒ AP è bisettrice dell’angolo OPH.

Con HP = x, conduciamo da O la perpendicolare alla retta [H;P] ed indichiamo con K l’intersezione.

Osserviamo che

KP = HP − HK = x − ¹/₂x², con 0 ≤ x ≤ 2;

OK = OP − KP = 1 − x + ¹/₂x².

L’area del trapezio è data da

(AO + HP) · OK / 2

f(x) = (x + 1) / 2 · (1 − x + ¹/₂x²), con 0 ≤ x ≤ 2.

La derivata prima della funzione è:

f’(x) = (1 + 2x − 2x²) / (2 − 2x²).

e studiando il suo segno si deduce che la funzione ammette il suo massimo assoluto per

x = (1 + √3) / 2

e si ha

Max f = (1 + √3) / 2 · (3 + √3) / 8 ≃ 1,1009.

Calcolo del volume del solido di rotazione