1981 problema 1

1981 Sessione ordinaria

1) In un sistema di assi coordinati cartesiani si scrivano le equazioni delle due circonferenze passanti per l'origine O ed aventi i centri rispettivamente nei punti C'(2; 0) e C"(-1/2; 0).

Condotte per il punto O due rette mutuamente perpendicolari, delle quali la prima incontra le due circonferenze, oltre che nel punto O, nei due punti A e B rispettivamente e la seconda nei punti C e D, si determini il quadrilatero ACBD avente area massima.

Soluzione di De Rosa Nicola

Le due circonferenze passano entrambe per l’origine per cui quella di centro C'(2; 0) avrà un raggio

1

=

= e quella di centro r ' ' .

r ' 2 C"(-1/2; 0) un raggio 2

Le due equazioni saranno allora: − + = ⇔ + − =

2 2 2 2

C ' : ( x 2

) y 4 x y 4 x 0

2

 

1 1

+ + = ⇔ + + =

2 2 2

 

C ' ' : x y x y x 0

 

2 4

Le due rette mutuamente perpendicolari avranno equazioni generiche:

= >

s : y mx , m 0

1

= − >

t : y x , m 0

m

La figura sottostante evidenzia la geometria del problema: